(Simulado-Epcar) Produtos Notáveis

Se a^12+b^12+c^12=8 e (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²/abc =- 6/(a+b+c) ,calcule a^6+b^6+c^6.
a)2
b)3
c)5
d)6
e)7
resp:e

Vou supor que vc quis dizer [(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]/abc =- 6/(a+b+c)
reorganizando essa expressão, obtemos
(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)=-6abc
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)+3abc=0

e agora expandindo tudo, ficamos com
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)+3abc=a³+b³+c³=0

na vdd essa primeira igualdade é uma expressão conhecida.

a³+b³+c³=0, elevando ao quadrado os dois lados, obtemos

[latex]a^6+b^6+c^6+2a^3b^3+2a^3c^3+2b^3c^3=0[/latex]
então
[latex]a^6+b^6+c^6=-(2a^3b^3+2a^3c^3+2b^3c^3)[/latex]
elevando novamente ao quadrado,

[latex]a^{12}+b^{12}+c^{12}+2a^6b^6+2a^6c^6+2b^6c^6=4a^6b^6+4a^6c^6+4b^6c^6+8a^6b^3c^3+8a^3b^6c^3+8a^3b^3c^6[/latex]
mas
[latex]8a^6b^3c^3+8a^3b^6c^3+8a^3b^3c^6=8a^3b^3c^3(a^3+b^3+c^3)=0[/latex]

portanto
[latex]a^{12}+b^{12}+c^{12}=2a^6b^6+2a^6c^6+2b^6c^6=8[/latex]

Ora,
[latex](a^6+b^6+c^6)^2=a^{12}+b^{12}+c^{12}+2a^6b^6+2a^6c^6+2b^6c^6=16[/latex]
portanto
[latex]a^6+b^6+c^6=4[/latex]

se tiver duvida pergunt aí