Interseção entre uma função e sua inversa

por Fëanor Sex 21 maio 2021, 20:13

Seja [latex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] uma função dada por [latex]f(x)=x^{3}-4x^{2}+4[/latex].

A soma das abscissas dos pontos de interseção dos gráficos dessa função e de sua relação inversa é

a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) Maior que 3.

Minha tentativa:

Seja [latex]I(x)=x[/latex] a função identidade, note que se [latex]\exists a : f(a)=a[/latex] , e f possui uma inversa, temos que [latex]f^{-1}(a)=a[/latex]

Assim, [latex](a,a)\in I(x)\wedge (a,a)\in f(x)\wedge (a,a)\in f^{-1}(x)[/latex] e [latex](a,a)[/latex] é um ponto de interseção de [latex]f(x)[/latex] , [latex]f^{-1}(x)[/latex] e [latex]I(x)[/latex] , ou seja, dado que existe uma interseção entre a função [latex]f(x)[/latex] e a funnção identidade, pelo menos um ponto de interseção entre [latex]f(x)[/latex] e sua inversa caem sobre a própria função identidade.

Fazendo [latex]f(x)=x[/latex] , temos que

[latex]x^{3}-4x^{2}-x+4=0[/latex] ,logo:

[latex]x=4 \veebar x=1 \veebar x=-1[/latex]

Portanto temos que nos pontos [latex](4,4) ,(1,1),(-1,-1)[/latex] a função e sua inversa interceptam-se, note que não há garantia que estes são os únicos pontos que isto ocorre. Sendo S a soma das abscissas os pontos de interseção dos gráficos dessa função e de sua relação inversa teremos que : [latex]S=4+1-1+k[/latex] onde k é a soma das outras possíveis abscissas.

[latex]S=4+1-1+k[/latex], se [latex]k>0[/latex] então [latex]S>4[/latex] e a alternativa e é correta, porém, se [latex]k<0[/latex] a análise é inconclusiva. Como posso determinar k ? Existe uma maneira mais simles de resolver este problema ?

por Dimizkaz Sex 21 maio 2021, 20:57

Bom, vou te mostrar o modo como eu pensei

Considerando que uma função e sua inversa são sempre simétricas, veja um exemplo abaixo:

Interseção entre uma função e sua inversa A7thyhq8P7AvAAAAAElFTkSuQmCC

Interseção entre uma função e sua inversa A7thyhq8P7AvAAAAAElFTkSuQmCC

o ponto de encontro delas, tem que ser necessariamente algo assim (X,Y) com Y=X, pois o único lugar para intersecção é o eixo de simetria.

Tendo isso em mente, os pontos de intersecção serão da forma(x,x), portanto:

F(x)=x^3-4X^2+4=x

resolvendo isso teremos:
(X^2-1)(X-4)=0
o que é exatamente os pontos (1,1) (-1,-1) e (4,4) que vc já encontrou, portanto a soma dá 4, eu não entendi esse K que vc colocou, para falar a verdade, não entendi muito o que vc fez, talvez isso te ajude, ou não.

por Dimizkaz Sex 21 maio 2021, 21:03

Acho que o eixo de simetria garante que elas são os únicos, não?

por Fëanor Sex 21 maio 2021, 21:38

Dimizkaz escreveu:Bom, vou te mostrar o modo como eu pensei

Considerando que uma função e sua inversa são sempre simétricas, veja um exemplo abaixo:

o ponto de encontro delas, tem que ser necessariamente algo assim (X,Y) com Y=X, pois o único lugar para intersecção é o eixo de simetria.

Tendo isso em mente, os pontos de intersecção serão da forma(x,x), portanto:

F(x)=x^3-4X^2+4=x

resolvendo isso teremos:
(X^2-1)(X-4)=0
o que é exatamente os pontos (1,1) (-1,-1) e (4,4) que vc já encontrou, portanto a soma dá 4, eu não entendi esse K que vc colocou, para falar a verdade, não entendi muito o que vc fez, talvez isso te ajude, ou não.

É errado assumir que o único lugar possível de interseção de uma função e sua inversa seja sobre a bissetriz do primeiro quadrante. Por exemplo, tomemos duas funções [latex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] e [latex]j:\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}[/latex], onde [latex]g(x)=-x[/latex] e [latex]j(x)=\frac{1}{x}[/latex] .

Note que :

[latex]g^{-1}(x)=-x=g(x)[/latex]

[latex]j^{-1}(x)=\frac{1}{x}=j(x)[/latex]

Assim, existem infinitos pontos onde estas funções interceptam suas inversas

Se fosse verdade que a interseção só é possível sobre y=x, teríamos que

[latex]g(x)=x[/latex] e [latex]j(x)=x[/latex] nos dão os únicos pontos onde as funções interceptam suas inversas.

[latex]g(x)=x\rightarrow -x=x\rightarrow 2x=0\rightarrow x=0 [/latex].Assim, [latex](0,0)[/latex] seria o único ponto de interseção entre g e sua inversa o que é um absurdo.

[latex]j(x)=x\rightarrow \frac{1}{x}=x\rightarrow x^{2}=1\rightarrow (x-1)(x+1)=0\rightarrow x=1\veebar x=-1[/latex]. Assim, [latex](1,1),(-1,-1)[/latex] seriam os únicos pontos de interseção entre j e sua inversa o que é um absurdo.

Estes 3 pontos que encontrei pertencem a interseção de [latex]f(x)[/latex] e sua inversa, porém, perceba que nada garante que estes sejam os únicos pontos de interseção. K seria a soma das abscissas dos demais pontos de interseção.

por Fëanor Sex 21 maio 2021, 22:06

Dimizkaz escreveu:Acho que o eixo de simetria garante que elas são os únicos, não?

Interseção entre uma função e sua inversa F_inv210

Observe que pelo gráfico de f(x) e sua inversa existem 9 pontos de interseção

por Dimizkaz Sex 21 maio 2021, 22:32

Agr compreendo, é realmente absurdo assumir isso
Foi até ingênuo eu ter assumido
Não consigo pensar em outra forma de encontrar as outras intersecções, a não ser encontrando a própria função inversa e igualando, nem sei mais se isso daria certo, considerando minhas falsas afirmações anteriores.
Bom, acho que teremos que esperar alguma mente mais acostumadas nesses assuntos.