matemática financeira

?

Olá,

eu achei na internet uma fórmula para depósitos periódicos, que é a seguinte:

Mn = d(1+i){ [(1+i)^n] -1}/i

na qual d é o valor de cada depósito, Mn o montante e n a quantia de tempo passado.

tentei deduzir essa fórmula mas não tive êxito, pelo visto é meio complicada mesmo, mas é o que dá para usar na questão.

Boa tarde!

Respondendo a questão:
PMT = 586,87
FV = 45.000,00
i = 0,7% a.m.
n = ? (antecipada)

[latex]FV=PMT\cdot\left[\frac{\left(1+i\right)^{n+1}-1}{i}-1\right]\\
45\,000=586,87\cdot\left[\frac{\left(1+0,7\%\right)^{n+1}-1}{0,7\%}-1\right]\\
\frac{45\,000}{586,87}=\frac{1,007^{n+1}-1}{0,007}-1\\
\frac{1,007^{n+1}-1}{0,007}=\frac{45\,000}{586,87}+1\\
1,007^{n+1}-1=0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)\\
1,007^{n+1}=0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)+1\\
n+1=\frac{\log\left[0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)+1\right]}{\log 1,007}\\
n=\frac{\log\left[0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)+1\right]}{\log 1,007}-1\\
n\approx 61,25[latex]

Portanto, n=62 depósitos antecipados, para obter um montante de:
[latex]FV=45\,681,51[latex]

Espero ter ajudado!

Dedução:
Imagine n depósitos:
[latex]PMT\cdot (1+i)^n+PMT\cdot (1+i)^{n-1}+\cdots+PMT\cdot (1+i)=FV\\
PMT\cdot(1+i)\cdot\frac{(1+i)^n-1}{1+i-1}=FV\\
PMT\cdot(1+i)\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}=FV\\
PMT\cdot\frac{(1+i)^{n+1}-(1+i)}{i}=FV\\
PMT\cdot\left[\frac{(1+i)^{n+1}-1}{i}-1\right]=FV[latex]