Dúvida Álgebra matriz normal, dedução.

Seja a matriz [latex] A\varepsilon M(2x2) [\mathbb{R}][/latex] normal. Mostre que A é simétrica ou é a soma de uma matriz diagonal com uma matriz antissimétrica.

Olá convidado06!
Por definição, a matriz normal A satisfaz: A.A* = A*.A, onde o asterisco indica a matriz transposta conjugada. Como a matriz é de números reais, podemos reescrever a expressão apenas com o transposto (A.A^T = A^T.A). Sendo assim:

[latex]A = \bigl(\begin{smallmatrix}a &b \\ c& d\end{smallmatrix}\bigr)\;\;e\;\;A^T= \bigl(\begin{smallmatrix}a &c \\ b& d\end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \rightarrow\;A.A^T=\bigl(\begin{smallmatrix}a &b \\ c& d\end{smallmatrix}\bigr).\bigl(\begin{smallmatrix}a &c \\ b& d\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}a^2+b^2 &ac+bd \\ ac+bd& c^2+d^2\end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \rightarrow\;A^T.A=\bigl(\begin{smallmatrix}a &c \\ b& d\end{smallmatrix}\bigr).\bigl(\begin{smallmatrix}a &b \\ c& d\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}a^2+c^2 &ab+cd \\ ab+cd& b^2+d^2\end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \rightarrow\;A.A^T=A^T.A\;\Rightarrow\;\bigl(\begin{smallmatrix}a^2+b^2 &ac+bd \\ ac+bd& c^2+d^2\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}a^2+c^2 &ab+cd \\ ab+cd& b^2+d^2\end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \left\{\begin{matrix}\cancel{a^2}+b^2=\cancel{a^2}+c^2\\ ac+bd=ab+cd\end{matrix}\right.\\\\ \rightarrow\;\left\{\begin{matrix}b^2=c^2\\ (a-d).c=(a-d).b\end{matrix}\right.[/latex]

Veja que ou b = c e consequentemente a matriz é simétrica, ou b = -c e consequentemente a = d. Porém, nesse caso [latex]A = \bigl(\begin{smallmatrix}a &b \\ -b& a\end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix}a &0 \\ 0& a\end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix}0 &b \\ -b& 0\end{smallmatrix}\bigr)[/latex], que é justamente a soma de uma matriz diagonal com uma matriz antissimétrica.

Obrigado pela ajuda grande dedução, me ajudou muito