Lentes e espelhos.

A fim de se determinar o raio de curvatura de um espelho convexo, uma lente convergente, de distância focal 40 cm, é colocada em frente ao espelho convexo. Uma pequena lâmpada de lanterna acesa é posicionada a 60 cm da lente. O espelho é movimentado, de forma a aproximá-lo ou afastá-lo da lente, com o intuito de colocá-lo em uma posição tal que se forme uma imagem da lâmpada exatamente no foco da lente, a 20 cm da lâmpada. Quando esse propósito é alcançado, o espelho situa-se a uma distância de 70 cm da lente, conforme ilustra a figura ao lado. Desse modo, o raio de curvatura do espelho convexo, em cm, mede:

a) 50

b) 60

c) 70

d) 80

e) 100


Coloquei gabarito duplo pois encontrei esses dois resultados em locais diferentes. De qualquer forma, não sei chegar ao gabarito.



24.10.2020 11:06:28

Imagem da questão. Não consegui por na mesma mensagem.

Eu já tinha feito uma imagem invertida; vou postar.

Imagem I1: 1/40 = 1/60 + 1/p'1 ---> p'1 = 120

O enunciado diz que a imagem final vai se formar sobre o foco da lente, mas não diz qual foco: F1 ou F1' ?

Olá Eduardo! 
Primeiramente, os raios que saem da lâmpada passarão pela lente formando uma imagem que está depois do centro da lente (80 cm). Encontrando a distância da imagem formada em relação à lente:

[latex]\\\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}\;\rightarrow\;\frac{1}{40}=\frac{1}{60}+\frac{1}{p'}\;\rightarrow p'=120\;cm[/latex]

Note que essa imagem está sendo formada "atrás" do espelho convexo, de modo que ela irá se comportar como um objeto virtual, o que significa que o 'P' em relação ao espelho será negativo. Além disso, a imagem formada pelo espelho convexo atuará como objeto para a lente novamente, de modo que a nova imagem será formada no foco da lente (a 20 cm da lâmpada). Agora, a questão é: aonde tem que estar o objeto, para que a imagem formada pela lente esteja no seu foco? Exatamente, no infinito. Só que o objeto é simplesmente a imagem formada pelo espelho, o que significa que a imagem formada pelo espelho está no infinito, e isso só ocorre quando o objeto virtual está no foco do espelho. Portanto:

[latex]\\-\frac{1}{ f }=-\frac{1}{p}\;\rightarrow\;-\frac{1}{f}=-\frac{1}{120-70}\;\rightarrow f=50\;cm\\\\ \therefore\;\boxed{R=2f=100\;cm}[/latex]