Questão de polinômios, IME-83
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Questão de polinômios, IME-83
por Pierre Dzurunda Ter 06 Out 2020, 11:32
(IME 1983) P(x) é um polinômio do quarto grau e sua segunda derivada é P''(x). Determine P(x), sabendo que P''(x) = [latex]ax^{2} + bx^{} + c[/latex] e que P(x) é divisível por P''(x).
- Spoiler:
- [latex]\frac{1}{12}\left ( ax^{4} + 2bx^{3} + 6cx^{2} + \frac{6abc - b^{3}}{a^{2}}x + \frac{5ac^{2} -b^{2}c}{a^{2}} \right )[/latex]
Última edição por Pierre Dzurunda em Ter 06 Out 2020, 13:11, editado 1 vez(es)
Pierre Dzurunda- Recebeu o sabre de luz
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Re: Questão de polinômios, IME-83
por Elcioschin Ter 06 Out 2020, 12:50
Seja P(x) = m.x4 + n.x3 + p.x2 + q.x + r ---> Derivando
P'(x) = (4.m).x3 + 3.n.x2 + 2.p.x + q
P"(x) = (12.m).x2 + (6.n).x + 2.p
Comparando com P"(x) = a.x² + b.x + c --->
12.m = a ---> m = a/12
--6.n = b ---> n = b/6
--2.p = c ---> p = c/2
P(x) = (1/12).a.x4 + (1/6).b.x3 + (1/2).c.x² + q.x + r
Agora vem a parte trabalhosa: dividir P(x) por P"(x) e igualar o resto a zero.
Tente!
P'(x) = (4.m).x3 + 3.n.x2 + 2.p.x + q
P"(x) = (12.m).x2 + (6.n).x + 2.p
Comparando com P"(x) = a.x² + b.x + c --->
12.m = a ---> m = a/12
--6.n = b ---> n = b/6
--2.p = c ---> p = c/2
P(x) = (1/12).a.x4 + (1/6).b.x3 + (1/2).c.x² + q.x + r
Agora vem a parte trabalhosa: dividir P(x) por P"(x) e igualar o resto a zero.
Tente!
Elcioschin- Grande Mestre
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