Força eletrostatica e Lei de coulomb

Boa noite amigos! Segue o enunciado do problema.

"Três pequenas esferas idênticas, de massa m, estão suspensas a partir de um mesmo ponto por fios de massa disprezivel e de igual comprimento l. Uma  carga Q é dividida igualmente entre as esferas, e essas, no equilíbrio, se posicionam nos vértices de um triângulo equilátero horizontal de lado d. Demonstre que:


[latex]Q^{2} = 12\pi \varepsilon mgd^{3} \left [ l^{2} - \frac{d^{2}}{3} \right ]^{-\frac{1}{2}} [/latex]

Aqui, claro, o epsilon representa a permissividade do espaço livre, e g a aceleração da gravidade.

Elcioschin escreveu:

Boa noite mestre! Obrigado pela resposta rápida e pela solicitez de criar uma imagem.

Nas minhas tentativas de resolução, tive um raciocínio próximo ao seu, acredito. O meu resultado para CG, porém, ficou diferente.

Tentei fazer o seguinte: puxei um segmento de reta de G até o ponto médio(Chamado K, por exemplo) do segmento CB, formando um ângulo de 90 graus. Daí, eu havia formado o triângulo GCK, com um ângulo de 30 graus em C.

Utilizei então a definição de cosseno para encontrar que: (d/2)/CG = cos(30). Sabendo que cos(30) = (√3)/2, ficamos com CG = d/(√3).

Está correto esse procedimento? Seria essa a rota mais confortável ou recomendada pelo senhor para resolver essa questão?

Além disso, pergunto ao senhor: como atingiu o resultado de CG = d* √3/3? O senhor utilizou o apótema do triângulo?


De toda forma, a partir daí eu segui com esse valor de CG que havia econtrado e trabalhei o triângulo OCG para encontrar uma expressão de teorema de pitágoas para ele, além de utilizar a relação de tangente para encontrar uma expressão. São estas (considere θ o ângulo associado ao ponto O):

tan θ = CG/h ; L² = CG² + h².

Tendo estas duas em mãos, junto as expressões de: q = Q/3;  senθ/cosθ = Fx/mg;  Fx = q²/2πεd² ;  E substituindo como necessário, atingi a expressão final seguinte:

Q² = 18πεmgd³ * ((3L² -d²) ^ -(1/2)).

É possível ver que a expressão que atingi não é identica a expressão-resposta dada pelo problema. Acredito que possa até ser numericamente igual, mas que eu tenha utilizado identidades trigonometricas diferentes e tenha atingido um resultado apenas visivelmente diferente. Agradeço se o senhor ou os companheiros do fórum possam me ajudar a entender o que aconteceu ou me avisar se cometi algum erro. Minha vista já está "viciada" no problema. Acredito que não esteja mais interpretando bem.

Novamente, agradeço a atenção do mestre e de todos!

Considerei G o centro da circunferência inscrita no triângulo equilátero. Este ponto é o pé da altura OG da pirâmide e é também o ponto de encontro das três medianas do triângulo.

No triângulo retângulo BMC: CM = BC.cosB^CM ---> CM = d.cos30º ---> 

CM = d.√3/2 ---> I

CM é uma mediana do triângulo, logo CG = 2.MG --->

CG + MG = CM ---> 2.MG + MG = d.√3/2 ---> 3.MG = d.√3/2 ---> MG = d.√3/6