Teoria das equações algébricas

por Leonardo Cortopassi Qua 26 Ago 2020, 16:39

Determine a e b, de modo que a equação a seguir admita duas e somente duas raízes nulas:
x⁴ + 3x³ + (3a - b)x² + (a - b - 3)x + (2a + b + 6) = 0

Gabarito: a = -1; b = -4.

por Sr Bevictori Qua 26 Ago 2020, 16:48

Se uma raiz é raiz n-ésima de P(x), ela será de raiz dos polinômio gerado pelas derivadas de ordem 0 até (n-1).

Como no polinômio sitado, 0 é raiz dupla, 0 é raiz de P(x) e da primeira derivada de P(x).

Para P(0)=0 ----> 2a+b+6=0
Para P'(0)=0 ----> a-b-3=0
Para P"(0)≠0 ----> 3a-b≠0

Resolvendo o sistema temos:
a=-1 e b=-4

Esses valores respeitam o sistema e o problema.

a=-1 e b=-4

por **Elcioschin** Qua 26 Ago 2020, 16:55

Outro modo

Para existirem apenas duas raízes nulas devemos ter

a - b - 3 = 0 ---> I
2.a + b + 6 = 0 ---> II
3.a - b ≠ 0 ---> III

I + II ---> 3a + 3 = 0 ---> a = - 1 ---> I ---> - 1 - b - 3 = 0 ---> b = - 4

III ---> 3.(-1) - (- 4) = 1 ---> OK