RAÍZES COMPLEXAS

Poderiam me ajudar com essa questão?
1-     Seja i² = -1. A equação x³ - 5x² + mx + n = 0 admite a raiz dupla (a + bi) e a raiz simples
 (-1 + di) onde, a, b e d são números reais. Nestas condições, (m + n) é igual a:
a) 0                           b) 9                          c) 12                          d) -12                 e) 6
 Desde já muito obrigada

Deve haver algum engano no enunciado:

A equação é do 3º grau, logo tem 3 raízes.
Ou ela tem três raízes reais ou tem apenas uma real e duas complexas conjugadas.

O enunciado diz que ela tem uma raiz dupla (a + b.i) logo ela tem também uma raiz dupla (a - b.i), logo, já são quatro raízes

Além disso, se ela tem raiz simples (-1 + di) tem a raiz conjugada (-1 - d.i) ---> mais duas raízes

Neste caso a equação deveria ser do 6º grau!

Perfeito, Elcio. Aí, para não haver nenhum absurdo, acho que é para assumir b=d=0. Isso supondo que m, n são reais.

Corretíssimo Vitor: é uma grande pegadinha!

Para b = d = 0 as raízes são a, a, -1

Girard:

a + a - 1 = - (-5)/1 ---> a = 3

a.a + a.(-1) + a.(-1) = m/1 ---> ---> a² - 2.a = m ---> 3² - 2.3 = m ---> m = 3

a.a.(-1) = - n/1 ---> - a² = - n ---> n = a² ---> n = 9

m + n = 12
.

Elcioschin escreveu:A equação é do 3º grau, logo tem 3 raízes.
Ou ela tem três raízes reais ou tem apenas uma real e duas complexas conjugadas.

Mas então Elcioschin, isso só é realmente verdade se todos os coeficientes do polinômio forem reais, veja um contra-exemplo para uma equação do segundo grau, se considerarmos a equação (x - i)(x - (3 + i)) = 0, as raízes dela são x1 = i e x2 = 3 + i, mas em sua expansão vamos chegar ao polinômio x² - (3 + 2i)x + 3i - 1 = 0, logo temos uma equação do segundo grau com duas raízes complexas e uma não sendo o conjugado da outra, veja que ela possui alguns coeficientes complexos.
Essa ideia de se uma equação possui uma raiz do tipo a + bi então a - bi também é uma raiz é algo muito "poderoso", mas devemos nos atentar aos coeficientes da equação, como o exercício não nos disse se "m" e "n" são reais, devemos considerar o "caso geral", que seria o caso em que m e n podem ser complexos.