RAIZES COMPLEXAS

POR FAVOR ALGUEM ME EXPLIQUE COMO ACHAR AS RAIZES DE
Z² - ( 3 + i )z + 2 + 2i = 0

Seguindo o raciocínio do amigo Werill em questão anterior análoga a esta:

https://pir2.forumeiros.com/t22412-numeros-complexos

z² - ( 3 + i )*z + 2 + 2*i = 0

sejam as raízes z' e z'', então?

z' + z'' = 3 + i -> z' = 3 + i - z''

z' * z'' = 2 + 2*i


( 3 + i - z'' )*z'' = 2 + 2*i

3*z'' + i*z'' - (z'')² = 2 + 2*i

3*z'' - (z'')² + i*z'' = 2 + 2*i

podemos dizer que:

i*z'' = 2*i => z'' = 2

z'' = 2 => z1 = 3 + i - 2 => z' = 1 + i

No enunciado — que não foi transcrito — deve haver:

z ∈ ℂ

E se houver, a solução deveria ser outra...

Obrigado rihan, peço desculpas a Lilian por induzi-la ao erro.

z² - ( 3 + i )z + 2 + 2i = 0

1) Equação quadrática

a = 1

b = - ( 3 + i )

c = 2 + 2i

2) Delta

∆ = b² - 4ac

∆ = (- ( 3 + i ) )² - 4(1)(2 + 2i)

∆ = 3² + 6i + i² - 8 - 8i

∆ = 9 - 1 - 8 + 6i - 8i

∆ = -2i

3) Raíz Preliminar

z = -b/2a + √∆/2a

z = -(- ( 3 + i ) )/2 + √(-2i)/2

z = ( 3 + i ) /2 + √(-2i)/2

z = 3/2 + i/2 + √(-2i)/2

4) Raizes do Complexo √(-2i)

√(-2i) = (-2i)¹/² =

[ 2(cos(-Π/2 + 2kΠ) + i.sen(-Π/2 + 2kΠ) ]¹/² =

[2cis(-Π/2 + 2kΠ)]¹/² =

√(2).cis(-Π/4 + kΠ) =

a) Para k = 0 :

√(2).cis(-Π/4 ) = √(2)(√(2)/2 - i√(2)/2) =

2/2 - 2i/2 =

1 - i

b) Para k = 1 :

√(2).cis(-Π/4 + Π ) = √(2).cis(-Π/4 + Π ) =

√(2).cis(3Π/4 ) =

√(2)(-√(2)/2 + i√(2)/2) =

-2/2 + 2i/2 =

-1 + i

5) Raízes

c) Substituindo (4a) em (3):

z1 = 3/2 + i/2 + (1 - i)/2

z1 = (1/2) (3 + i + 1 - i)

z1 = (1/2) (4)

z1 = 2

d) Substituindo em (4b) em (3):

z2 = 3/2 + i/2 + (-1 + i)/2

z2 = (1/2) (3 + i - 1 + i)


z"2 = (1/2) (2 + 2i)

z2 = 1 + i

6) Verificando em z² - ( 3 + i )z + 2 + 2i :

a) z1 = 2

z² - ( 3 + i )z + 2 + 2i

2² -(3 + i)2 + 2 + 2i =

4 - 6 - 2i + 2 + 2i =

6 - 6 - 2i + 2i = 0

b)z2 = 1 + i

z² - ( 3 + i )z + 2 + 2i

(1 + i)² - ( 3 + i )(1 + i) + 2 + 2i =

1 + 2i -1 -(3 + 3i + i -1) + 2 + 2i =

2 + 4i - 4i - 2 = 0

Raízes:

z1 = 2

z2 = 1 + i