Aritmética (Congruência )

Calcule o resto da divisão por 11 da seguinte expressão:

8.291^3 +7.283 × 9.372^2 + 8.193^4

Gabarito:

Fazer cada parcela:

1) 8291 ≡ 8 (mod 11) --> 8291³ ≡ 8³ (mod 11) , agora tem que ver como procede o resto nas potências de 8 --> 8³ = 512 ≡ 6 (mod 11).

Tenta fazer as outras,vou deixar esse vídeo pra te ajudar: https://www.youtube.com/watch?v=HHcYG3p2qu0&list=PLYMD22oJpAr31W5rXB4KEhMxe7w3XVZGc&index=2

Pesquisa sobre teorema dos restos. Mas, resolvendo a questão, veja que 8291=753*11+8, isto é, 8291 deixa resto 8 na divisão por 8. Ao elevar isso ao cubo, temos:
8291³=(753*11+³=11*(X)+8³, em que X é o resto da expansao que neste caso nao nos interessa, porque 11X é multiplo de 11, ou seja, podemos dizer que X nessa expressão faz o papel de "q" na expressao antes de ser elevada ao cubo (papel de quociente, no caso), e que 8³ faz o papel de resto. A conclusão é que 8291³ deixa o mesmo resto que 8³ na divisão por 11 porque 8291 deixa o mesmo resto que 8 na divisão por 11. Repita o mesmo raciocínio pros outros numeros. No final fica que 
8.291^3 +7.283 × 9.372^2 + 8.193^4 deixa o mesmo resto que
8^3+1*0+9^4 e que deixa o mesmo resto que (repetindo o processo já feito)
6+0+5=11 que deixa o mesmo resto que 0 na divisão por 11. Ou seja, aquela expressão inicial deixa resto 0 na divisão por 11.