Maior área possível (Retângulo)

Deseja-se construir um porta-retrato retangular cuja borda externa tenha perímetro de 100 cm. As arestas verticais internas
devem estar 3 cm afastadas das arestas verticais externas, e as arestas horizontais internas devem estar 2 cm afastadas das
arestas horizontais externas, conforme a figura.


Nas condições acima, a maior área possível, em cm2, para a região interna (assinalada) do porta-retrato é
(A) 380
(B) 441
(C) 420
(D) 400
(E) 361

Resposta :

Boa tarde,
Eu tentei assim...
área do retângulo e base x altura, o perímetro e 100, dividi por 4 dando 25 pra cada lado,
diminui de acordo com as arestas internas ficando 22 cm e 23 cm 
calculei a área que deu 506 e diminui pelo perímetro que deu 100, chegando a 406 cm2
por favor, poderia me ajudar com uma resolução correta...
obrigada

Boa tarde!

Vamos pensar que toda essa figura está num plano cartesiano, com eixos ordenados ''x'' e ''y''. (pensando que a horizontal é o eixo ''x'' e a vertical é o eixo ''y'', e o vértice inferior esquerdo do retângulo está na origem do sistema.)

Sabemos que a área do retângulo é b.h, nesse caso a base desse retângulo hachurado é x-(3+3) = x-6.
A altura dele será y-(2+2) = y-4.

Com isso podemos escrever uma função que nos forneça o valor da área:

f(x)=(x-6)(y-4)

f(x)=xy-4x-6y+24

Como o perímetro da borda externa é igual a 100, temos 2x+2y=100 ---> x+y=50, dessa forma podemos isolar uma das incógnitas e substituir na função área, isolando y:

x+y=50

y=50-x

Substituindo na função..:

f(x)=x(50-x)-4x-6(50-x)+24

f(x)=50x-x²-4x-300+6x+24

f(x)=-x²+52x-276

Como queremos a área máxima, isto é, o valor máximo que essa função assume, devemos encontrar o y do vértice:

Yv=-Δ/4a

Yv=-[(52)²-4.(-1).(-276)]/4.(-1)

Yv=-[2704-1104]/-4

Yv=-[1600]/-4

Yv=400

Ola Yuri, Obrigada pela ajuda!
A unica duvida que ficou foi aqui...
2x+2y=100, esse 2x e 2y, nao entendi...
Obrigada!!!

Olá Clara!

Então, ''x'' e ''y'' são os lados do retângulo maior, os lados horizontais, chamei de ''x'', como são dois (lado de cima e de baixo), ''2x'' e o mesmo para os verticais, cada um foi chamado de ''y'' (o da esquerda e o da direita), como também são 2, ''2y''. E como a questão nos dá o perímetro desse retângulo maior (100 cm), 2x+2y=100.