Relações Trigonométricas

por fernandobvm Dom 22 Out 2017, 07:04

Sendo ABC um triângulo. Prove que cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgAcotgC = 1

por igor.augusto Dom 22 Out 2017, 08:40

\\S=cotgAcotgB+cotgAcotgC+cotgBcotgC= \frac{tgA+tgB+tgC}{tgAtgBtgC}\\S=\frac{senAcosBcosC+senBcosAcosC+senCcosAcosB}{senAsenBsenC}\\S=\frac{cosC(senAcosB+senBcosA)+senCcosAcosB}{senAsenBsenC}\\S=\frac{cosC(sen(A+B))+senCcosBcosA}{senAsenBsenC}\\\text{Sabemos que }A+B=\pi-C\Rightarrow sen(A+B)=senC. \text{ Logo:}\\S=\frac{cosCsenC+senCcosAcosB}{senAsenBsenC}=\frac{cosC+cosAcosB}{senAsenB}\\S=\frac{cos(\pi-(A+B)) +cosAcosB}{senAsenB}=\frac{-cos(A+B)+cosAcosB}{senAsenB}\\S=\frac{-cosAcosB+senAsenB+cosAcosB}{senAsenB}\\S=\frac{senAsenB}{senAsenB}\Rightarrow S=1,\text{ C.Q.D.}

por fernandobvm Dom 22 Out 2017, 16:14

igor.augusto escreveu:\\S=cotgAcotgBcotgC= \frac{tgA+tgB+tgC}{tgAtgBtgC}\\S=\frac{senAcosBcosC+senBcosAcosC+senCcosAcosB}{senAsenBsenC}\\S=\frac{cosC(senAcosB+senBcosA)+senCcosAcosB}{senAsenBsenC}\\S=\frac{cosC(sen(A+B))+senCcosBcosA}{senAsenBsenC}\\\text{Sabemos que }A+B=\pi-C\Rightarrow sen(A+B)=senC. \text{ Logo:}\\S=\frac{cosCsenC+senCcosAcosB}{senAsenBsenC}=\frac{cosC+cosAcosB}{senAsenB}\\S=\frac{cos(\pi-(A+B)) +cosAcosB}{senAsenB}=\frac{-cos(A+B)+cosAcosB}{senAsenB}\\S=\frac{-cosAcosB+senAsenB+cosAcosB}{senAsenB}\\S=\frac{senAsenB}{senAsenB}\Rightarrow S=1,\text{ C.Q.D.}

Porque o produto das cotangente é igual ao produto 2 a 2 das mesmas?