Qual dos valores abaixo divide a ?

por superaks Qua 06 Set 2017, 17:58

Sejam a e b números inteiros tais que

\dfrac{a}{b} =1- \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}- ...-\dfrac{1}{2014}+\dfrac{1}{2015}

Qual dos valores abaixos divide a ?

A - 34
B - 3029
C - 2015
D - 3023
E - 3031

por Convidado Qui 07 Set 2017, 10:38

Eu fiz assim:
Todo essas somas menos o último termo é igual a x.
x+ 1/2015=(2015x+1)/2015.
Está na forma irredutível (por quê?).
Para x=3 temos 6046.

Sei lá, mas a gambiarra funcionou. Se está certo ou não....

por superaks Qui 07 Set 2017, 16:24

Ok, mas porque escolher x = 3?

6046 = 2 . 3023

2 não divide a.

Veja. A maior potência de 2 que que aparece no mmc de toda essa operação, é o 2^(10) = 1024. Não poderia ser 2^(11) pois é maior que 2015.

Então mmc(1, 2, ..., 2015) = l . 2^(10), onde l é ímpar

O numerador se toda essa operação seria,

l . 2^(10)/l . 2^(10) - [(l . 2^(10))/2]/l . 2^(10) + ... + [(l . 2^(10))/2015]/l . 2^(10)

É fácil notar que 2 divide as 2014 parcelas, porque o único número que tiraria o 2^(10) do mmc é o próprio 2^(10), então 2 não dividiria uma parcela das 2015, portanto 2 não divide a

Eu ainda não vejo como isso pode funcionar

por **fantecele** Qua 04 Out 2017, 09:49

$\\\frac{a}{b}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}\\\\\frac{a}{b}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2}.(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1007})\\\\\frac{2a}{b}=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+...+\frac{2}{2015}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1007})\\\\\frac{2a}{b}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-...-\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac{2}{1009}+\frac{2}{1111}+...+\frac{2}{2015}\\\\\frac{2a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{1}{1008}-\frac{1}{1009}+\frac{1}{1010}-...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}+\frac{2}{1009}+\frac{2}{1111}+...+\frac{2}{2015}$

$\\\frac{a}{b}=\frac{1}{1008}+\frac{1}{1009}+\frac{1}{1010}+...+\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}\\\\\text{Somando os termos equidistantes:}\\\\\frac{a}{b}=\frac{3023}{1008.2015}+\frac{3023}{1009.2014}+\frac{3023}{1010.2013}+...+\frac{3023}{1510.1513}+\frac{3023}{1511.1512}\\\\\frac{a}{b}=3023.\left ( \frac{1}{1008.2015}+\frac{1}{1009.2014}+\frac{1}{1010.2013}+...+\frac{1}{1510.1513}+\frac{1}{1511.1512} \right )\\\\\frac{a}{b}=3023.\frac{m}{n}$

Perceba que n é a multiplicação de 1008 até 2015 e que nenhum desses números divide 3023 pois ele é primo, então 3023 divide "a".

por superaks Qua 04 Out 2017, 11:45

Excelente Fantecele !!

Já estava perdendo o sono com essa questão. Veleu!

por Convidado Dom 15 Out 2017, 08:27

Faltou provar que esse número do numerador é primo.

por **Elcioschin** Dom 15 Out 2017, 08:45

3023 não é divisível pelos primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53

por Convidado Dom 15 Out 2017, 08:57

Não são só esses primos que existem menores que 3023.

por **Elcioschin** Dom 15 Out 2017, 09:01

3023 : 53 ~= 57,04 ---> 57,04 > 53

3023 : 59 ~= 51,24 ---> 51,24 < 59

Note que o resultado 51,24 < 59, logo não precisa testar mais.

por **fantecele** Dom 15 Out 2017, 10:07

O jeito que eu faço para ver se um número é primo é dividindo ele (P) pelos primos menos que sua raiz quadrada (√P). No caso do exercício √3023 ≈ 54,98, com isso os primos que deverão dividir são esses que o Mestre Elcio havia listado acima, como nenhum deles divide 3023 então 3023 é primo.