Equação Logarítmica - Segunda Fase - UECE

por ismael1008,3 24/2/2017, 2:38 pm

44.309-(UECE) Sejam f a função real de variável real definida por f(x) = 10 - log₂ x⁴ - log_x 16, x > 0 e x ≠ 1, e x₁, x₂ ∈ ℝ tais que f(x₁) = f(x₂) = 0. O valor de x₁.x₂ é:

a)√2

b)2√2

c)3√2

d)4√2

Gabarito: D

por Convidado 24/2/2017, 4:57 pm

log_x 16=1/log₂⁴ x=1/[(1/4)log₂ x]=4/log₂ x

f(x₁)=0 -> 10log₂ x⁴-(4/log₂ x)=0 ->

40log₂ x-(4/log₂ x)=0

log₂ x=v -> 40v-(4/v)=0 -> v'=-√10/10 ou v''=√10/10

log₂ x=-√10/10 -> x₁=2^-^√10/10

log₂ x=√10/10 -> x₂=2^√10/10

^{Ismael, não há nenhum erro de digitação no enunciado?}

por ismael1008,3 24/2/2017, 7:37 pm

Opa Hazengard, realmente errei acabei esquecendo o sinal, peço desculpas pela inconveniência e por fazer vc e outros membros do fórum perderem tempo!

por **Elcioschin** 24/2/2017, 7:53 pm

Uma questão bem fácil:

f(x) = 10 - log₂(x⁴) - log_x(2⁴) ---> f(x) = 10 - 4.log₂x - 4.log_x2 --->

f(x) = 10 - 4.log₂x - 4/log₂x ---> fazendo log₂x = k --->

f(x) = 10 - 4.k - 4/k ---> f(x) = (10.k - 4.k² - 4)/k --->

P/ f(x) = 0 --> 10.k - 4.k² - 4 = 0 --> 2.k² - 5.k + 2 = 0 --> Raízes: k = 2 e k = 1/2

log₂x1 = 2 ---> x1 = 4
log₂x2 = 1/2 ---> x2 = √2

x1.x2 = 4.√2