Conjuntos numéricos (propriedades)

por jvrvlopes1 Dom 12 Fev 2017, 07:26

Questão:
Sejam a, b números racionais positivos. Prove que √a + √b é racional se, e somente se, √a e √b são ambos racionais.

por Mathematicien Dom 12 Fev 2017, 17:57

Olha, não sei se isso te ajuda em alguma coisa, mas, se √a e √b são ambos racionais, então √a = c/d e √b = e/f

c/d + e/f, seja lá quais forem os valores, com d e f diferentes de zero, darão outro número racional, porque uma soma finita de frações não tem como dar um número irracional.

por jvrvlopes1 Seg 13 Fev 2017, 05:10

Sim, como essa afirmação é "se, e somente se" (⇔), deve-se provar a ida e a volta. A volta você provou, mas a ida eu ainda não consegui.

por **Elcioschin** Seg 13 Fev 2017, 06:34

Parece-me intuitivo, mas não sei se isto é uma prova:

Se √a + √b são ambos irracionais, a soma de dois irracianais é sempre um irracional

por Edsonrs Seg 13 Fev 2017, 07:42

A soma de dois irracionais não é necessariamente irracional, cuidado.

por Mathematicien Seg 13 Fev 2017, 08:07

O Edson tem razão: a soma de dois irracionais não é necessariamente irracional.

Vamos dizer que m = √2 e n = 1 - √2. É claro que m e n são ambos irracionais, mas a sua soma dá 1, que é um número racional.

A gente tem basicamente 3 casos no exemplo inicial:
(1) √a e √b são ambos racionais;
(2) Ou √a ou √b é racional (apenas um deles é);
(3) nenhum deles é racional.

Se ambos são, vale o meu primeiro post;

Se apenas um deles é, então um deles pode ser escrito na forma c/d, e o outro não. A soma de uma fração com qualquer número irracional continua sendo um número irracional.

E se nenhum deles é racional, então nenhum deles pode ser escrito na forma c/d, e continuarão na forma de raiz. Nenhuma soma de raízes de resultado irracional pode dar um número racional. Agora, como provar isso, e se tem que provar isso, não sei.

por **Elcioschin** Seg 13 Fev 2017, 13:22

Edsonrs e Mathematien

Pelo texto da questão a e b são dois números racionais positivos e podem até ser iguais.

Eu afirmei que:

"Se √a + √b são ambos irracionais, a soma de dois irracionais é sempre um irracional".

Evidentemente, minha afirmação vale apenas para esta questão.

Mantenho minha afirmação, porque:

1) Se a ≠ b, por exemplo a = 2 e b = 3 ---> √2 + √3 é irracional

2) Se a = b, por exemplo a = b = 2 ---> √2 + √2 = 2.√2 --> 2.√2 é irracional

Vejam que não podemos ter a = b = 0 (pois a, b são dois números positivos).

Assim, para esta questão, não vale o exemplo dado m = √2 e n = 1 - √2, pois n tem que ser igual a √b

por jvrvlopes1 Ter 14 Fev 2017, 20:47

Mathematicien, essa sua prova de ida, do segundo post, é o suficiente, já que a raiz irracional não pode ser escrita na forma a/b, logo, a soma de duas raízes irracionais nunca pode dar uma racional. O argumento do Elcioschin complementa o raciocínio. Obrigado a todos!!!