Impulso e Quantidade de Movimento

Uma partícula tem movimento retilíneo regido pela lei horária s=2t³, com s em metros e t em segundos. A massa da partícula é de 0,5 kg. Calcule a força média que atuou sobre a partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s.

Spoiler:

1ª Solução) Dada a função horária da posição, podemos derivá-la uma vez para achar a função horária da velocidade.
Derivando a primeira: s' = v = 6t^2

Em t = 0 s, temos:
v(0) = 6.0² = 0

Em t = 2 s, temos:
v(2) = 6.2² = 24 \; \textrm {m/s}

Para calcular o Impulso:
\\ I = \Delta Q \Rightarrow\\ I = Q_{f} - Q_{i} \Rightarrow \\ I = m.v(2) - m.v(0) \Rightarrow \\ I = 0,5 . 24 = 12\; \textrm {kg.m/s}

Sabemos que F = I/∆t, então:
F = \frac {12}{2-0} = 6 \; \textrm {N}

Thomas Prado escreveu:s = 2t³
Derivando a primeira: s' = v = 6t²

Em t = 0 s, temos:
v(0) = 6.0² = 0

Em t = 2 s, temos:
v(2) = 6.2² = 24 m/s

Para calcular o Impulso:
I = ∆Q =>
I = Qfinal - Qinicial
I = m.v(2) - m.v(0)
I = 0,5 . 24 = 12 kg.m/s

Sabemos que F = I/∆t, então:
F = 12/2-0 = 6 N

O que exatamente você fez aqui ?

Spoiler:

:scratch:

AlessandroMDO escreveu:O que exatamente você fez aqui ?

Spoiler:

:scratch:

Eu derivei. Isso é um conceito usado na parte de Cálculo (matéria de ensino superior), porém algumas das aplicações de Derivada podem ser úteis na resolução de diversos exercícios de Ciências Exatas.
Utilizando a Derivada, você pode achar o ponto máximo ou mínimo de uma função, por exemplo.
Também podemos utilizá-la para achar algumas funções horárias.
Quando derivamos a função horária da posição, achamos a função horária da velocidade. Se derivarmos mais uma vez, achamos a aceleração.
Tá, mas como eu faço isso? Segue explicação:

Seja P(x) uma função derivável.


A cada derivação que você faz da função, é colocado um ' nela. Logo, a primeira derivada é P'(x). Essa é uma das representações, existem outras.
Para derivar, você precisa reduzir uma unidade no expoente de cada x da equação, e o número ao qual você tirou essa unidade, deve "descer multiplicando" o coeficiente. Observe o exemplo:



Observe que todo termo que não contém x, não participa da derivada.
Agora é só usar a ideia análoga para as funções horárias.
No exercício, ele deu a função horária da posição: s = 2t^3
Vamos derivar uma vez (para achar a função horária da velocidade): s' = v = 3.2t^2 = 6t^2

Obs.: Perceba que, na verdade, a melhor representação para a função horária da posição seria s(t) = 2t^3, porém é comum deixarmos essa formalidade.
Obviamente, a definição e o estudo de derivadas vai muito além, isso foi apenas um resumo (sem nem ter explicado a definição) de como pode ser aplicada.
Ah, e claro, você pode dar uma lida nesses assuntos nessa área do fórum: https://pir2.forumeiros.com/c14-nocoes-elementares-de-calculo-i

Thomas Prado escreveu:

AlessandroMDO escreveu:O que exatamente você fez aqui ?

Spoiler:

:scratch:

Eu derivei. Isso é um conceito usado na parte de Cálculo (matéria de ensino superior), porém algumas das aplicações de Derivada podem ser úteis na resolução de diversos exercícios de Ciências Exatas.
Utilizando a Derivada, você pode achar o ponto máximo ou mínimo de uma função, por exemplo.
Também podemos utilizá-la para achar algumas funções horárias.
Quando derivamos a função horária da posição, achamos a função horária da velocidade. Se derivarmos mais uma vez, achamos a aceleração.
Tá, mas como eu faço isso? Segue explicação:

Seja P(x) uma função derivável.


A cada derivação que você faz da função, é colocado um ' nela. Logo, a primeira derivada é P'(x). Essa é uma das representações, existem outras.
Para derivar, você precisa reduzir uma unidade no expoente de cada x da equação, e o número ao qual você tirou essa unidade, deve "descer multiplicando" o coeficiente. Observe o exemplo:



Observe que todo termo que não contém x, não participa da derivada.
Agora é só usar a ideia análoga para as funções horárias.
No exercício, ele deu a função horária da posição: s = 2t^3
Vamos derivar uma vez (para achar a função horária da velocidade): s' = v = 3.2t^2 = 6t^2

Obs.: Perceba que, na verdade, a melhor representação para a função horária da posição seria s(t) = 2t^3, porém é comum deixarmos essa formalidade.
Obviamente, a definição e o estudo de derivadas vai muito além, isso foi apenas um resumo (sem nem ter explicado a definição) de como pode ser aplicada.
Ah, e claro, você pode dar uma lida nesses assuntos nessa área do fórum: https://pir2.forumeiros.com/c14-nocoes-elementares-de-calculo-i

Se entendi bem, é assim? 

De qualquer forma muito obrigado! Estarei dando uma olhada nesta matéria.

Acho que você só se equivocou na hora de escrever, mas deve ter pensado certo.
Corrigindo:
Seja f(x) uma função derívavel, tal que f(x) = ax^n
A sua primeira derivada é: f'(x) = n.ax^{n-1}

É só usar a ideia análoga para os exercícios.

Abraços!

Apresento outras duas soluções:
2ª Solução) Dada a função horária da posição, podemos derivá-la uma vez para achar a função horária da velocidade.
Derivando a primeira: 

Em t = 0 s, temos:


Em t = 2 s, temos:


Podemos calcular a força média a partir da aceleração escalar média:
F_{m} = m . a_{m} = \frac {1}{2}. \frac {\Delta V}{\Delta S} = \frac {1}{2} . \frac {24-0}{2-0} = \frac {1}{2}. 12 = 6 \; \textrm {N}


3ª Solução) Dada a função horária da posição, podemos derivá-la duas vezes para achar a expressão que caracteriza a aceleração em função do tempo:
s = 2t^3 \Rightarrow s'' = a = 12t

Em t = 0 s, temos:
a(0) = 12.0 = 0

Em t = 2 s, temos:
a(2) = 12.2 = 24 \; \text{m/s}²

Como a função a=12t é linear - e somente por isso - podemos achar a aceleração média a partir da média aritmética das acelerações instantâneas encontradas. Logo:

a_{m} = \frac {(24+0)}{2} = 12 \; \text{m/s}^2

Podemos calcular a força média a partir da aceleração escalar média:
F_{m} = m . a_{m} = \frac {1}{2}. 12 = 6 \; \textrm {N}