(Fuvest) Números complexos
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(Fuvest) Números complexos
por dani1801 Ter 04 Out 2016, 16:55
(FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. Conclui-se que:
a) z e 1/z são conjugados
b) z + 1/z = i
c) este módulo é 2
d) z e 1/z são reais
e) z^2 =1
Seja w = conjugado de z.
Não entendi muito bem as contas pra se chegar nesse resultado...
Sendo lzl= raiz (a^2+b^2)
a) z e 1/z são conjugados
b) z + 1/z = i
c) este módulo é 2
d) z e 1/z são reais
e) z^2 =1
Seja w = conjugado de z.
Não entendi muito bem as contas pra se chegar nesse resultado...
Sendo lzl= raiz (a^2+b^2)
dani1801- Estrela Dourada
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Re: (Fuvest) Números complexos
por EsdrasCFOPM Ter 04 Out 2016, 17:27
z=a+bi ;
z-1=1/(a+bi)
z-1=(a-bi)/(a+bi)(a-bi)
z-1=(a-bi)/(a2+b2)
|z|=√(a2+b2)
|z-1|=√{[a/(a2+b2)]2+[-b/(a2+b2)]2}
|z-1|=√[(a2+b2)/(a2+b2)2]
|z-1|=1/√(a2+b2)
|z|=|z-1|
√(a2+b2)=1/√(a2+b2)
a2+b2=1
Se z=a+bi e z-1=(a-bi)/(a2+b2), então z e z-1 serão conjugados pois:
z=a+bi e z-1=(a-bi)/(1) --> z=a+bi e z-1=a-bi
z-1=1/(a+bi)
z-1=(a-bi)/(a+bi)(a-bi)
z-1=(a-bi)/(a2+b2)
|z|=√(a2+b2)
|z-1|=√{[a/(a2+b2)]2+[-b/(a2+b2)]2}
|z-1|=√[(a2+b2)/(a2+b2)2]
|z-1|=1/√(a2+b2)
|z|=|z-1|
√(a2+b2)=1/√(a2+b2)
a2+b2=1
Se z=a+bi e z-1=(a-bi)/(a2+b2), então z e z-1 serão conjugados pois:
z=a+bi e z-1=(a-bi)/(1) --> z=a+bi e z-1=a-bi
EsdrasCFOPM- Estrela Dourada
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Re: (Fuvest) Números complexos
por dani1801 Qua 05 Out 2016, 12:18
Esdras desculpa mas não entendi como chegou do z-1 até essa parte
|z-1|=√{[a/(a2+b2)]2+[-b/(a2+b2)]2}
por que ao colocar a raiz só sobrou a e -b?
|z-1|=√{[a/(a2+b2)]2+[-b/(a2+b2)]2}
por que ao colocar a raiz só sobrou a e -b?
dani1801- Estrela Dourada
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Re: (Fuvest) Números complexos
por EsdrasCFOPM Qua 05 Out 2016, 17:44
O inverso nada mais é do que a troca do numerador com o denominador. Como z=(a+bi)/1 o inverso será z-1=1/(a+bi).
Na divisão dos números complexos, fazemos o processo similar de quando encontramos 1/√2=1.√2/√2.√2=√2/2. Iremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Então:
Depois disso, apliquei as propriedades do módulo de um número complexo.
Sendo a=a/(a2+b2) e b=-b/(a2+b2), o módulo de z-1 será:
^2+(\frac{-b}{a^2+b^2})^2}}&space;\rightarrow&space;|z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{(-b)^2}{(a^2+b^2)^2}}}&space;\rightarrow&space;\\\&space;|z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2}{(a^2+b^2)^2}}} "|z^{-1}|=\sqrt{{(\frac{a}{a^2+b^2})^2+(\frac{-b}{a^2+b^2})^2}} \rightarrow |z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{(-b)^2}{(a^2+b^2)^2}}} \rightarrow \\\ |z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2}{(a^2+b^2)^2}}}")
Como possuem o mesmo denominador:
^2}+\frac{b^2}{(a^2+b^2)^2}}}\rightarrow&space;|z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2).(a^2+b^2)}}}\rightarrow&space;|z^{-1}|=\sqrt{{\frac{1}{a^2+b^2}}} "|z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2}{(a^2+b^2)^2}}}\rightarrow |z^{-1}|=\sqrt{{\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2).(a^2+b^2)}}}\rightarrow |z^{-1}|=\sqrt{{\frac{1}{a^2+b^2}}}")
Aplicando a raiz temos:
Na divisão dos números complexos, fazemos o processo similar de quando encontramos 1/√2=1.√2/√2.√2=√2/2. Iremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Então:
Depois disso, apliquei as propriedades do módulo de um número complexo.
Sendo a=a/(a2+b2) e b=-b/(a2+b2), o módulo de z-1 será:
Como possuem o mesmo denominador:
Aplicando a raiz temos:
EsdrasCFOPM- Estrela Dourada
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