Indução eletromagnética

Relembrando a primeira mensagem :

Não faço ideia de como se calcula o campo magnético (ao longo do eixo longitudinal) de um ímã em forma de barra, mas tenho certeza de que não se trata de uma função linear. Afinal, isso conduziria ao absurdo de supor que a certa distância o vetor indução torna-se nulo e, após, inverte seu sentido.
Dito isso, analisemos a questão abaixo, tirada de um simulado do ENEM.

O princípio de funcionamento de usinas geradoras de energia elétrica é baseado na indução eletromagnética, onde uma corrente elétrica será induzida em um circuito fechado quando estiver sujeito a um campo magnético que varia com o tempo. Para ilustrar e entender esse fenômeno, um estudante resolveu acoplar uma bobina feita de material condutor a um amperímetro e um resistor. Logo após, ele aproximou um ímã com velocidade constante da bobina, conforme mostra a figura a seguir.

Sabendo que a bobina está fixa, conforme o ímã vai se aproximando da bobina, o módulo da corrente elétrica lida no amperímetro 
(A) é nulo, pois não há uma bateria ligada à bobina.
(B) é constante, pois ela é diretamente proporcional à velocidade do ímã. (gabarito)
(C) aumenta, pois a energia mecânica do ímã está diminuindo.
(D) diminui, pois a bobina gera um campo magnético contrário ao do ímã.
(E) diminui, pois a bobina gera um norte magnético próximo ao ímã, diminuindo sua velocidade.

Agora vamos supor que a resposta esteja correta.
Isso significa que
\\  i = kv
onde k é uma constante.
Da lei da indução,
\\ \varepsilon_{ind} = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} \Rightarrow Ri = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} \Rightarrow i = -\frac{1}{R}\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}
Por comparação
\\ kv = -\frac{1}{R}\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} =-\frac{1}{R}\frac{\text{d}}{\text{d}t} BA\cos 0
Observação: por simplicidade, estou ignorando o fato de que o campo é variável em cada seção reta. Claro que isso não ocorre, mas a conclusão seria semelhante.
\\ kv = -\frac{A}{R}\frac{\text{d}B}{\text{d}t} \Rightarrow k\frac{\text{d}x}{\text{d}t} = -\frac{A}{R}\frac{\text{d}B}{\text{d}t} \Rightarrow \int k\frac{\text{d}x}{\text{d}t} = \int -\frac{A}{R}\frac{\text{d}B}{\text{d}t} \Rightarrow kx = -\frac{A}{R}B + C \\ \therefore \boxed{B(x) = \frac{RC}{A} - \frac{Rk}{A}x}
Minha resposta é que a corrente será crescente com o tempo. Mesmo não sabendo calcular o campo magnético, algo me diz que ele tem esse "jeitão" aí:

[B = f(x)]
Nesse caso, ao aproximar o ímã da bobina, a intensidade do vetor indução cresce num ritmo cada vez maior, e portanto a corrente é crescente.

Vou considerar apenas uma espira da bobina

∆θ = B . A . Cos@


Como a velocidade do ímã é constante, a intensidade de B é também constante no tempo.


Ou seja, o fluxo e o campo variam linearmente na mesma proporção.



O que ao meu ver seria independente da variável distancia. 


É isso que você está questionando ? 


Estou usando uma linguagem mais simples, acabei de estudar esse assunto pela primeira vez, por isso posso estar equivocado em alguns pontos.  :scratch:

\\ \Phi_B = B\cdot A\cdot \cos{\theta}

hugo araujo escreveu:Como a velocidade do ímã é constante, a intensidade de B é também constante no tempo.

Veja, Hugo, não podemos tirar de uma equação conclusões relativas a grandezas que sequer aparecem nela, a menos que seja clara a relação entre essas grandezas e os termos da equação.
A equação que escrevi acima não explicita relação nenhuma com a velocidade do ímã.
Agora, vamos estabelecer um eixo x, com origem no centro do ímã e coincidindo com sua direção longitudinal, orientado de sul para norte. 
Vamos considerar uma só bobina, cuja posição ao longo do eixo x é dada por
\\ x(t) = x_0 - vt
considerando que v é uma constante (positiva), e que ímã e bobina se aproximam.
O fluxo magnético na bobina é dado por
\\ \Phi_B = B\cdot A\cdot \cos{\theta}
Para relacionar o fluxo à distância x, devemos considerar que o campo magnético ao longo do eixo x é dado por uma função que nós não conhecemos, isto é, 
\\ B = B(x)
A fem induzida é dada pela lei de Faraday-Lenz:
\\ \varepsilon = -\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t}BA \cos{0} \, \text{(*)}
Como B = B(x) e x = x(t), derivando B com respeito a t teremos:
\\ \frac{\text{d}B}{\text{d}t} = \frac{\text{d}B}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t} \Rightarrow \frac{\text{d}B}{\text{d}t} = -v\frac{\text{d}B}{\text{d}x}
Substituindo em (*), considerando que A é uma constante:
\\ \varepsilon = -A \left( -v\frac{\text{d}B}{\text{d}x} \right )
Como E = Ri,
\\ Ri = Av \frac{\text{d}B}{\text{d}x} \therefore \boxed{i = \frac{Av}{R} \frac{\text{d}B}{\text{d}x}} \, \text{(**)}
Perceba que se trata de uma função horária, pois x é função de t e dB/dx é função de x, portanto, dB/dx é função de t (A, v, R são constantes).
Da equação (**), concluímos que i é constante se, e somente se, dB/dx também o for, ou seja, B(x) teria de ser linear.

Rodrigo sua dúvida é interessante, acabei de estudar o assunto, portanto não tenho condições de chegar a uma conclusão com base nas suas indagações. 

Espero que alguém do fórum mais experiente veja sua dúvida.

Uma outra solução, mas ainda considerando o gráfico  constante é analisar que:

  εi = (-N.∆θ)/∆t 

como ∆θ/∆t é constante e εi = R . Ii

e sendo R da bobina constante, temos uma relação direta entre variação do fluxo, força eletromotriz e corrente.