Teoria dos números
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Teoria dos números
por Milly Ter 14 Jun 2016, 09:55
Mostre,que para nenhum n natural,2^n +1 é um cubo
Minha tentativa 2^n+1 = q^3
2^n=(q-1)(q^2+q+1) temos que mostrar que o lado direito é impar
Se q for par
q-1 é impar --- q^2 + (q+1) --> impar + par = impar
Par x ímpar=par
Se q for ímpar
q-1 é par e já temos um múltiplo de 2 o que contradiz a questão!O que estou errando?
Minha tentativa 2^n+1 = q^3
2^n=(q-1)(q^2+q+1) temos que mostrar que o lado direito é impar
Se q for par
q-1 é impar --- q^2 + (q+1) --> impar + par = impar
Par x ímpar=par
Se q for ímpar
q-1 é par e já temos um múltiplo de 2 o que contradiz a questão!O que estou errando?
Milly- Jedi
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Re: Teoria dos números
por Jader Qua 15 Jun 2016, 10:34
Aproveitando o que já fez, partiremos desse ponto:
(q^{2}+q+1) "2^{n}=(q-1)(q^{2}+q+1)")
Em particular, sabemos que:
(q^{2}+q+1)\\\\\Rightarrow&space;2|(q-1)~ou~2|(q^{2}+q+1)\\\\Se~2|(q^{2}+q+1)~absurdo,~pois~q^{2}+q~é~par,~ent\tilde{a}o~q^{2}+q+1~\acute{e}~\acute{i}mpar.\\\\Se~2|(q-1)~para~todo~q,~absurdo,~pois~basta~pegarmos~q~par.\\\\Logo~n\tilde{a}o~existe~n~para~o~qual~2^{n}+1~seja~um~cubo. "\\2|2^{n}\Rightarrow 2|(q-1)(q^{2}+q+1)\\\\\Rightarrow 2|(q-1)~ou~2|(q^{2}+q+1)\\\\Se~2|(q^{2}+q+1)~absurdo,~pois~q^{2}+q~é~par,~ent\tilde{a}o~q^{2}+q+1~\acute{e}~\acute{i}mpar.\\\\Se~2|(q-1)~para~todo~q,~absurdo,~pois~basta~pegarmos~q~par.\\\\Logo~n\tilde{a}o~existe~n~para~o~qual~2^{n}+1~seja~um~cubo.")
Em particular, sabemos que:
Jader- Matador
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Ótima explicação!
Milly- Jedi
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