Estática - Dúvida em ângulo

por Mathimatiká Grecca Sáb 19 Mar 2016, 08:47

Bom dia a todos!

A figura abaixo refere-se a dois elementos estrutrais sujeitos um a tração e outro a compressão. Qual o módulo da resultante R das duas forças e o ângulo θ que R faz com o eixo x positivo.

Estática - Dúvida em ângulo 2r553t5

Resolvi o exercício aqui e encontrei R = 3,603 kN (esse valor confere com o gabarito da questão). O valor do ângulo θ encontrado por mim foi de θ = 26,32°. O gabarito diz que θ = 206,32°. Pelo que vejo, o gabarito considerou o valor que encontrei e somou com 180,0°. Por qual o motivo foi feito isso?

Obrigada

por **Baltuilhe** Sáb 19 Mar 2016, 12:36

Bom dia!

O vetor 2 kN tem ângulo de 180º-30º=150º.
O vetor 3 kN tem ângulo de 60º+180º=240º.

O vetor resultante terá um ângulo neste intervalo também (entre 150º e 240º).

Façamos as contas:
Vetor 2 kN:
\\\vec{v_1}=2\left(\cos(150^\circ)\vec{i}+\sin(150^\circ)\vec{j}\right)=\\2\left(-\cos(30^\circ)\vec{i}+\sin(30^\circ)\vec{j}\right)=\\2\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}\right)=\\\left(-\sqrt{3}\right)\vec{i}+\vec{j}

Agora o outro vetor:
Vetor 3 kN:
\\\vec{v_2}=3\left(\cos(240^\circ)\vec{i}+\sin(240^\circ)\vec{j}\right)=\\3\left(-\cos(60^\circ)\vec{i}-\sin(60^\circ)\vec{j}\right)=\\3\left(\frac{-1}{2}\vec{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j}\right)=\\-\left(\frac{3}{2}\right)\vec{i}-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\vec{j}

Agora, somando os dois vetores:
\\\vec{v_1}+\vec{v_2}=\vec{v}=\left(-\sqrt{3}\right)\vec{i}+\vec{j}+\left[-\left(\frac{3}{2}\right)\vec{i}-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\vec{j}\right]=\\\left(-\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)\vec{i}+\left(1-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\vec{j}=\\-\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{2}\right)\vec{i}-\left(\frac{3\sqrt{3}-2}{2}\right)\vec{j}

Calculando o módulo:
\\||\vec{v}||=\sqrt{\left[-\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{2}\right)\right]^2+\left[-\left(\frac{3\sqrt{3}-2}{2}\right)\right]^2}=\\\sqrt{\left(\frac{21+12\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{31-12\sqrt{3}}{4}\right)}=\\\sqrt{\frac{52}{4}}=\\\sqrt{13}\approx\\3,606\;\text{kN}

Agora, calculando o ângulo:
\\\tan(\varphi)=\frac{-\left(\frac{3\sqrt{3}-2}{2}\right)}{-\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{3\sqrt{3}-2}{3+2\sqrt{3}}=\\\tan(\varphi)=\frac{3\sqrt{3}-2}{3+2\sqrt{3}}\times\frac{3-2\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}-18-6+4\sqrt{3}}{3^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2}=\\\tan(\varphi)=\frac{-24+13\sqrt{3}}{9-12}=\frac{24-13\sqrt{3}}{3}\\\varphi\approx{26,31^\circ}\text{ como o angulo esta no 3 quadrante, soma-se 180}\\\varphi\approx{26,31^\circ+180^\circ}=206,31^\circ

Veja, então, que o motivo de termos somando os 180 graus se deu pelo fato do vetor estar no 3º quadrante (x e y negativos).

Espero ter ajudado!