PROFMAT/2016 (2)

Seja Iո = {x ∈ ℕ: 1 ≤ x ≤ n} = {1, 2, ..., n}, para n inteiro positivo. Quantas funções f: I7 → I10 satisfazendo f(1) = 9 e f(3) = 10 são injetivas, ou seja, funções em que elementos distintos de I7 têm imagens distintas em I10?
a) 120
b) 280
c) 1260
d) 5040
e) 6720

Quando li esta questão, me assustei muito com o enunciado... Mas, com um pouco de reflexão, é fácil notar que temos um problema muito simples.

I7 tem 7 elementos, a saber: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Do mesmo modo, I10 tem 10 elementos, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Queremos montar uma aplicação I7 → I10, tal que f(1) = 9 e f(3) = 10. Isso significa que todas as aplicações a serem montadas terão tal correspondência. Basta só encontrar as possibilidades para f(2), f(4), f(5), f(6) e f(7). Como a aplicação é uma função injetiva, podemos usar as ferramentas da combinatória. Temos 8 elementos de I10 para escolhermos como imagens de 5 elementos de I7. A8,5 = 6720 funções injetivas.