Desafio - Canadá

por Lucas Lopess Seg 11 Jan 2016, 19:38

Um ponto C é situada no interior de um ângulo de 60º, distando 2 unidades e 3 unidades às semi-retas. Determine a distância de P ao ponto C.

Desafio - Canadá Dvr18p

Gabarito: √(76/3)

Alguém poderia, por favor, me ajudar nessa questão?

Desde já, eu agradeço.

por **Elcioschin** Seg 11 Jan 2016, 20:17

Trace PC e seja x = C^PB e y = C^PA ---> x + y = 60^o

senx = 3/CP ---> CP = 3/senx

seny = 2/CP ---> CP = 2/seny

3/senx = 2/seny ---> seny = 2.senx/3 ---> sen²y = 4.sen²x/9 ---> 1 - cos²y = 4.sen²x/9 --->

cosy = √(9 - 4.sen²x)/3

x + y = 60 ---> cos(x + y) = cos60 ---> cosx.cosy - senx.seny = 1/2

Coloque tudo em função de senx e calcule senx. Depois calcule CP

por **rodrigoneves** Seg 11 Jan 2016, 20:30

Triângulo PBC:
\\ \text{sen}\,\theta = \frac{3}{x} \Rightarrow x = \frac{3}{\text{sen}\,\theta}
Triângulo PBA:
\\ \text{sen}\,\left(\frac{\pi}{3}- \theta\right) = \frac{2}{x} \Rightarrow x = \frac{2}{\text{sen}\,\left(\frac{\pi}{3}- \theta\right)}
Use a fórmula do seno da diferença e depois iguale as expressões obtidas
\\ \text{sen}\,\left(\frac{\pi}{3}- \theta\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\text{sen}\,\theta
\\ \frac{3}{\text{sen}\,\theta} = \frac{2}{ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\text{sen}\,\theta }\\ \Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{3}{2}\text{sen}\,\theta = 2\text{sen}\,\theta \\ \Rightarrow 3\sqrt{3}\cos\theta = 7\text{sen}\,\theta \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{49}{27}\text{sen}^2\theta
Relação fundamental
\\ \text{sen}^2\theta + \frac{27}{49}\text{sen}^2\theta = 1 \Rightarrow \text{sen}\,\theta = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}
Use a primeira relação que encontramos:
\\ x = \frac{3}{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{76}}} = \sqrt{\frac{76}{3}}