Dúvida sobre domínio e imagem

Existe alguma forma algébrica de encontrar o domínio e a imagem?

Pergunto porque geralmente para achar o domínio quando este não é especificado, procuramos encontrar o maior intervalo de valores reais de x para os quais a função é definida. Porém o método que eu uso não funciona para todos os casos. 

Por exemplo, para a função y = (√x)/x  , eu teria o seguinte raciocínio:

As condições que precisam ser satisfeitas para que a função seja definida são:

x >= 0, pois não existe raiz quadrada de numero negativo nos reais;

x ≠ 0 ,  pois não se pode dividir por 0;

Fazendo a interseção desses intervalos, obtém-se x > 0, que é o domínio. Até aqui correto?


Porém, para função  y = √( (1/x) - 1 ), cujo domínio é (0 , 1] , esse método não funciona.

As condições são:

x ≠ 0, pois está no denominador;

1/x - 1 >= 0, pois está na raiz;


Porém essa última implica que:

1/x >= 1 , aqui vem minha dúvida.

Nem sei se posso fazer isso, mas se eu elevar os dois a -1, obtenho que x >= 1 , absurdo.

Mesmo se eu assumir de cara que x > 0 e multiplicar os membros por x, obtenho x<= 1, cuja interseção com x ≠ 0, resultaria no domínio " x<=1 e x ≠ 0", que não é o correto. 

Aparentemente o único jeito de achar o domínio certo é analisar a desigualdade 1/x >= 1 ,  não que eu tenha problema com isso, mas é que até aqui pensava que a interseção de intervalos podia me dar qualquer domínio simplesmente através da álgebra. O que me traz de volta a minha pergunta inicial: Existe alguma forma algébrica de encontrar o domínio e a imagem?

(1/x) - 1 >= 0 multiplicando todos por x
1 - x >= 0 
-x > -1 --> x =< 1

Obrigado por responder, mas você leu os últimos 2 parágrafos?

1/x deve ser MAIOR que zero, pois se 1/x for MENOR e subtrairmos 1 obviamente o termo dentro da raiz será negativo. Tendo isso em mente, faremos:
1/x ≥ 1
x ≤ 1 --> x (0 ,1]

Matheus

Você complicou neste caso.

Numa equação com zero num dos membros é permitido multiplicar tudo pela variável x, como o Aeron fez. E aí, fica facílimo.

Um outro modo de fazer, porém um pouco amis trabalhoso:

1/x - 1 ≥ 0 ---> (1 - x)/x ≥ 0 ---> basta agora fazer o quadro de sinais com a restrição x ≠ 0

.................... 0 ............................ 1 ......................
(1 - x) +++++++++++++++++++ 0 ------------------
x -------------- N ++++++++++++++++++++++++

Interseção ---- N +++++++++++++ 0 -----------------

Solução 0 < x ≤ 1 ---> ]0 , 1]