Função do segundo grau - UNB

A equação S(t) = -t² + Bt + c, tem uma única raiz real e tal que b,c pertencem aos reais. Julgue os itens em Certo ou Errado

 -----> A expressão -1/3 + b/2 + c é sempre negativa.

------> Se f(t) é a reta que passa pelos pontos (0, S(0)) e (1, S(1)), então S(t) - f(t) é um polinômio do segundo grau que assume seu valor máximo em t= 1/2 

Gabarito: Certo e Certo

Alguém pode explicar?

S(t)=-t²+bt+c
Se existe somente uma raiz, então o valor do discriminante(ou como quiser chamar, delta) será nulo.
Portanto, b² - 4 . (-1) . c = b² + 4c = 0
E a unica raiz seria (-b)/2a = (-b)/(2 . (-1)) = b/2 ---> S(b/2)=0

Agora, como nos sugere o enunciado, temos:
P(1/2)=-(1/2)²+(b/2)+c=-1/4+b/2+c
Neste caso, se b=1/2, então teriamos uma raiz.
Contudo, como (-1/3)<(-1/4), podemos dizer que (-1/3)+(b/2)+c < -1/4 + b/2 +c ---> Possivelmente zero, o valor máximo
Ou seja, se a expressão é menor que o valor máximo sempre, ela é sempre negativa visto que o valor máximo é nulo.

b) Podemos ver que S(0)-f(0)=0, e que S(1)-f(1)=0 também.
Se temos f(t)=ax+d, então:
f(0)=S(0) ---> S(0)=d
f(1)=S(1) ---> S(1)=a . 1 + d = a + d = a+ S(0)
Relacionando as duas, temos a = S(1)-S(0)
Por outro lado, temos:
S(0) = - 0² + b . 0 + c = c
S(1) = -1² + b . 1 + c = b+c-1
Relacionando as duas acima temos b = S(1)-S(0)+1
Agora, vamos
Então teremos também que S(t)-f(t)=-t²+(b-a)t+(c-d)
O valor máximo será no x do vértice, ou seja:
x_vertice = -(b-a)/(2 . (-1)) = (b-a)/2
Mas conforme descoberto acima:
b=S(1)-S(0)+1
a=S(1)-S(0)
---> b-a = 1
Logo, x_vertice = (b-a)/2 = (1)/2 = 1/2

Muito obrigado pela resolução! Eu só não entendi o porque de o enunciado sugerir que 1/2 é uma raiz, quando você achou b/2 como raiz;

Mas o enunciado não diz que (1/2) é raiz da função S(t).
Ele diz que é raiz da função S(t)-f(t), pois nesse caso, teriamos vértice em t=1/2, mas não necessessariamente raiz. A influência da reta já pode mudar as coisas pois, o enunciado fala que S(t) tem somente uma raiz, mas não que S(t)-f(t) tenha somente uma raiz também!

Exato, então porque dessa conta P(1/2)=-(1/2)²+(b/2)+c=-1/4+b/2+c ?

Pois devemos ter algo parecido com a expressão dada:
-1/3 + b/2 +c
Existe uma chance de -1/4+b/2+c ser raiz, somente uma, ou seja, nesse caso extremo temos o maior valor de -1/4+b/2+c, que no caso vale zero.
Por isso que -1/3+b/2+c será negativo, pois nesse caso extremo(se 1/2 for raiz) então a expressão será a maior possivel(ainda negativa)