(ITA) Números Complexos

por Carolziiinhaaah Ter 02 Nov 2010, 14:04

Sejam x e y números reais tais que:

$\left\{\begin{matrix} x^{3} - 3xy^{2} = 1 & \\ 3x^{2}y - y^{3} = 1 & \end{matrix}\right.$

Então, o número complexo z = x + iy é tal que $z^{3}$ e $\bar{z}$ valem, respectivamente:

gabarito: $1 + i$ e $\sqrt[6]{2}$

-------

Eu achei o primeiro valor assim:

$z^{3} = (x + iy)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y - 3xy^{2} - y^{3}i = x^{3} - 3xy^{2} + (3x^{2}y - y^{3})i = 1 + (1)i = 1 + i$

Só não consegui encontrar o módulo de z.

por **Elcioschin** Ter 02 Nov 2010, 14:56

Carol

Quando você já tiver resolvido uma parte da questão, mostre sua solução para que outros usuários possam aprender.
Por favor, coloque sua solução mesmo icompleta.

por DouglasM Ter 02 Nov 2010, 15:17

$|Z|^2 = Z.\overline{Z} \;\therefore \; |Z|^6 = Z^3.\overline{Z}^3$

Agora é só finalizar!

por Jeffson Souza Ter 02 Nov 2010, 15:22

Use a propriedade dos modulos

|z³| = √(1² + 1²) = √2 |z³| = |z|³ , pela propriedade dos modulos
|z| = raiz cubica de |z³|
|z| = 2^1/6

por Carolziiinhaaah Ter 02 Nov 2010, 15:30

Elcioschin

ah, ok! vou editar e colocar minha resolução agora msm

Obrigada, Douglas e Jeffson! Very Happy

por Thvilaça Qui 06 Set 2012, 10:11

Eu estava olhando esta questão, vi as resoluções de todo mundo.

Mas, antes de verificar a resolução desta questão na Internet (pois não estava conseguindo chegar no resultado), estava tentando resolver através do próprio sistema mesmo.

Não sei porque, não conseguia resolver esse sistema de jeito nenhum, parece que não dá pra isolar o x em função de y, ou vice-versa. Alguém se habilitaria, ou saberia me dizer como resolver esse sistema ? Obrigado