Congruência
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Congruência
por L.Lawliet Qua 24 Dez 2014, 16:15
Mostre que 5n³+7n5≡0 (mod 12) para todo "n" inteiros
L.Lawliet- Mestre Jedi
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Re: Congruência
por Luck Qua 24 Dez 2014, 18:39
5n³ + 7n^5 = n³(5 + 7n²)
se n = 3k :
n³(5+7n²) ≡ 0 mod(3)
se n # 3k :
n² ≡ 1 mod(3) (teor. de Fermat)
7n² ≡ 7 mod(3) ∴ 7n² ≡ 1 mod(3)
7n² + 5 ≡ 6 mod(3) ∴ 7n² +5 ≡ 0 mod(3)
n³(5+7n²) ≡ 0 mod(3)
se n for par :
n = 2k
8k³( 5 + 28k²)
8k³(5+28k²) ≡ 0 mod(4)
se n for ímpar:
n = 2k+1
(2k+1)³(5 + 7(2k+1)²)
(2k+1)³(5 + 7(4k² + 4k + 1) )
(2k+1)³( 7(4k² + 4k) + 12 )
4(2k+1)³(7(k²+k) + 3) ≡ 0 mod(4)
Logo, n³(5 + 7n²) ≡ 0 mod(12)
se n = 3k :
n³(5+7n²) ≡ 0 mod(3)
se n # 3k :
n² ≡ 1 mod(3) (teor. de Fermat)
7n² ≡ 7 mod(3) ∴ 7n² ≡ 1 mod(3)
7n² + 5 ≡ 6 mod(3) ∴ 7n² +5 ≡ 0 mod(3)
n³(5+7n²) ≡ 0 mod(3)
se n for par :
n = 2k
8k³( 5 + 28k²)
8k³(5+28k²) ≡ 0 mod(4)
se n for ímpar:
n = 2k+1
(2k+1)³(5 + 7(2k+1)²)
(2k+1)³(5 + 7(4k² + 4k + 1) )
(2k+1)³( 7(4k² + 4k) + 12 )
4(2k+1)³(7(k²+k) + 3) ≡ 0 mod(4)
Logo, n³(5 + 7n²) ≡ 0 mod(12)
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