complexos 2

calcule a raiz cubica de -11- 2i.
gabarito: 1+2i
-(1+ 2raiz 3)/2 + {(raiz 3) -2}i/2
-(1-2raiz 3)/2 - {(raiz 3) -2}i/2
desculpe nao ter postado antes

Olá.

∛(-11-2i) = a+bi .:. -11-2i = a³ + 3a²bi + 3ab²i² + b³i³ .:. 
-11 - 2i = a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i .:. -11-2i = (a³-3ab²) + i*(3a²b  -b³)

Por igualdade:

a³-3ab² = -11 .:. a*(a²-3b²) = -11 (i)
3a²b - b³ = -2 .:. b*(3a²-b²) = -2 (ii)

Na primeira equação: -11 = -1*11 ou 1*(-11)

Para o primeiro caso:

a = -1 --> a²-3b² = -11 .:. 1 - 3b² = 11 .:. -10 = 3b² --> não serve pois b não é real

Para o segundo caso:

a = 1 --> a²-3b² = -11 .:. 1 - 3b² - 11 .:. 12 = 3b² --> b = +- 2

Verificando qual caso serve na segunda equação:

3*1*2 - (2)³ = -2 .:. 6 - 8 = -2 .:. -2 = -2 (OK)
3*1*(-2) - (-2)³ = -2 .:. -6 + 8 = -2 .:. 2 = -2 (FALSO)

Logo, ∛(-11-2i) = 1+2i

Prova:

(1+2i)³ = 1³ + 3*1²*2i + 3*1*(2i)² + (2i)³ .:. 1 + 6i - 12 - 8i .:. 
-11 - 2i

Att.,
Pedro

O problema é achar as outras duas raízes. Esse problema é do Iezzi, João, e os livros do Iezzi vêm com respostas; não se esqueça de postá-las.

Pedro eu cheguei ate aqui a³-3ab² = -11 .:. a*(a²-3b²) = -11 (i)
3a²b - b³ = -2 .:. b*(3a²-b²) = -2 (ii) 
mas nao conseguia continuar...

Na verdade, nesse caso é bem fácil, porque temos apenas 3 raízes e já sabemos uma delas.

Temos a equação \\ z^3 = -11-2i \therefore z^3 + 0z^2 + 0z + (11+2i) = 0 e sabemos que 1+2i é raiz. Abaixando o grau por Briot-Ruffini:

\\ \begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline 1+2i & 1 & 0 & 0 & 11+2i \\ \hline & 1 & 1+2i & -3+4i & 0 \\ \hline \end{array}

Ou seja: \\ z^3+(11+2i) = [ z - (1+2i) ]  \cdot  [ z^2 + (1+2i)z + (-3+4i) ]

Resolvendo a equação do segundo grau:

\\  \triangle = (1+2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3+4i) \therefore \triangle = -3 \cdot (-3+4i) \therefore \triangle = 3 \cdot (2-i)^2  

Assim,

\\ z = \frac{-(1+2i) \pm \sqrt3 \cdot (2-i)}{2} \therefore z = \frac{-(1+2i) \pm (2\sqrt3 - \sqrt3 i)}{2}

Logo, as outras raízes são:

\\ z_1 = \frac{-1-2i + 2\sqrt3 - \sqrt3 i}{2} \therefore z_1 = \frac{-1+2\sqrt3}{2} - \frac{2+\sqrt3}{2} \cdot i \\\\ z_2 = \frac{-1-2i - 2\sqrt3 + \sqrt3 i}{2} \therefore z_2 = -\frac{1+2\sqrt3}{2} + \frac{-2+\sqrt3}{2} \cdot i

Concluímos então que o conjunto solução da equação z^3 = -11-2i é:

\\ \left\{ 1+2i ; \frac{-1 + 2\sqrt3 }{2} - \frac{2+\sqrt3 }{2} \cdot i ; -\frac{1+2\sqrt3 }{2} + \frac{-2 + \sqrt3 }{2} \cdot i \right\}

Abraços,
Pedro

João, chegando aí, como só temos 3 raízes, para facilitar, você tenta encontrar a raiz com coeficientes inteiros.

Para isso você deve fatorar os termos independentes. Fatore o -11 na primeira equação, que você vai chegar em dois casos, da mesma maneira que eu cheguei.

\\ -11 = -1 \cdot 11 \text{ ou } 1 \cdot (-11)

assim: 

\\  a \cdot (a^2 - 3b^2) = -1 \cdot 11 \Leftrightarrow a = -1, a^2-3b^2 = 11 \\ \hspace{25mm} \text{ ou } \\ a \cdot (a^2-3b^2) = 1 \cdot (-11) \Leftrightarrow a = 1, a^2-3b^2 = -11

Encontre os dois valores de b e substitua na segunda equação para verificá-los. Fazendo isso, você irá descobrir que somente a = 1, b = 2 serve e que portanto 1+2i é uma raiz.

Att.,
Pedro

sem usar o Briot-Ruffini é possivel??

entao eu fiz exatamente assim so que nao havia percebido a igualdade
a=-1, a²-3b²=11 e a=1, a²-3b²=-11
obrigado por enquanto

Bem complicado fatorar aquela equação só no "olhômetro"...

pois é eu tentei fatorar mas... travei, polinomios é o próimo capítulo então nao estudei o Briot -Ruffini ainda.