Cinematica

por medock Dom 27 Jul 2014, 06:50

Um automóvel, tendo uma velocidade inicial zero, se desloca por um caminho reto, primeiro com uma aceleração de 5 m/s², depois com uma velocidade uniforme e, finalmente, reduzindo sua velocidade com a mesma acelereção até parar. O tempo total do movimento foi 25 s e a velocidade média do percurso foi de 20 m/s. Determine o tempo em que o automóvel se movimentou com velocidade constante.

Spoiler:

por PedroCunha Dom 27 Jul 2014, 08:35

Olá, medock.

Vamos calcular a velocidade inicial e final em cada trecho e com isso montar um gráfico da velocidade versus o tempo.

Trecho 1:

v_o = 0, v_f = a \cdot t_1 \therefore v_f = 5t_1

Trecho 2:

v = 5t_1, t = t_2

Trecho 3:

\\ v_0 = 5t_1, v_f = 0, a = -5m/s^2 \rightarrow 0 = 5t_1 - 5 \cdot t_3 \therefore t_3 = t_1 \\ \Leftrightarrow 25-t_1-t_2 = t_1 \therefore t_2 = 25 - 2t_1

Sabendo que a área sobre o gráfico v x t é igual ao deslocamento, temos:

\\ v_m = \frac{\triangle d}{\triangle t} \therefore 25 \cdot 20 = \frac{t_1 \cdot 5t_1}{2} + 5t_1 \cdot t_2 + 5t_1 \cdot t_3 \therefore \\\\ 500 = \frac{5t_1^2}{2} + 5t_1t_2 + 5t_1^2 \therefore 1000 = 5t_1^2 + 10t_1 \cdot (25-2t_1) + 5t_1^2 \therefore \\\\ 1000 = 5t_1^2 + 250t_1 - 20t_1^2 + 5t_1^2 \therefore 1000 = -10t_1^2 + 250t_1 \therefore -t_1^2 + 25t - 100 =0 \\\\ \Leftrightarrow t_1 = \frac{-25 \pm 15 }{-2} \therefore t_1 = 5s \text{ ou } t_1 = 20s

Se t_1 = 20 , t_2 < 0 , logo t_1 = 5 e com isso, t_2 = 25 - 10 = 15s , que é justamente o valor pedido.

Abraços,
Pedro