Dividir zero por zero?

A dúvida me surgiu na resolução de uma questão bem simples, que pedia a solução da equação: \frac{\mid x \mid}{x} = \frac{\mid x - 1 \mid}{x - 1} .
Resolvendo a equação cheguei no resultado: x < 0 ou x > 1. No entanto, o gabarito consta como x < 0 ou x ≥ 1.

minha resolução:

Mas a resposta x ≥ 1 indica que x = 1 também satisfaz a equação. No entanto, teríamos: 1 = \frac{0}{0} .
Isso não apareceu na minha resposta por causa da condição de existência que eu impus no começo. Queria saber se fiz errado. De fato, já ouvi dizer que \frac{a}{0} não se define se a ≠ 0, mas que é igual a qualquer número real se a = 0. Isso se basearia no seguinte argumento: \frac{0}{0} = x \Leftrightarrow 0 \cdot x = 0 \Rightarrow \frac{0}{0} = x, \forall x \in \mathbb{R} . O que me causa estranheza nesta linha de raciocínio é que o simples fato de fazer os "extremos pelos meios" para dizer que 0/0 = x <=> x.0 = 0 já necessitaria de uma divisão por zero para fazer sentido. Ou seja, o argumento só faz sentido se sustentado por si próprio. Pelo menos a meu ver.
Queria que alguém esclarecesse isso para mim. Ou estaria apenas o próprio gabarito errado?

x deve ser diferente de 0 e de 1.

Você está certo e o gabarito errado.

Certo, valeu Pedro!!

0/0 é uma indeterminação. Vamos tentar fazer a divisão usando o método da chave:

0 | 0
.... 1 ----> q = 1 é uma solução para a divisã0, pois 1.0 = 0

0 | 0
.... 2 ----> q = 2 é uma solução para a divisã0, pois 2.0 = 0

E assim por diante. temos portanto uma quantidade infinita de quocientes:

1 ; 2 ; 2/3 ; √2 ; pi ; etc ---> Logo, o resultado é indeterminado, ou, trata-se de uma indeterminação.

Entendo. Pensando melhor, isso de fato não poderia justificar tal igualdade, porque conduziria ao absurdo de todos os números serem iguais (pois se a = b e b = c, então a = c).
Obrigado novamente, mestre Elcioschin...

rodrigo

Trabalhar com o zero exige cuidados (o primeiro cuidado é 1/0).

Pior do que isto é trabalhar com o ∞ (infinito)

Algumas operações permitidas com ∞

1) ∞ + 1 = ∞
2) ∞ - 5 = ∞
3) ∞ + ∞ = ∞
4) 3.∞ = ∞
5) ∞/2 = ∞

Isto significa que alguns infinitos são maiores que outros !!!!

Agora me diga: quanto vale ∞ - ∞ ? E, quanto vale ∞/∞ ? E quanto vale 0.∞ ?

Hehehe. As operações que o senhor apresentou podem parecer muito estranhas, mas se pensarmos bem são até intuitivas!! Lembra um pouco a geometria, se não me engano foi Euclides (não o nosso, o grego hehe) que disse que existem infinitos pontos no espaço, mas também sabemos que existem infinitos pontos em qualquer parcela do espaço, ou seja, infinitas vezes o infinito, resultando no infinito
Quanto ao ∞ - ∞... Não vou me arriscar a responder. De primeira a resposta mais "óbvia" seria zero, mas, como estamos falando do infinito, poderíamos até retirar o infinito dele, que restaria o infinito... enfim, apenas especulações. Então me diga, mestre, qual seria a resposta??

Veja

1) ∞ - ∞ = ? ----> Não dá para saber o resultado porque

a) Se o primeiro infinito for maior que o segundo (por exemplo igual ao segundo + 1) ---> (∞ + 1) - ∞ = 1 (ou qualquer outro número positivo)

b) Se o primeiro infinito for menor que o segundo (por exemplo igual ao segundo - 1) ---> (∞ - 1) - ∞ = -1 (ou qualquer outro número negativo)

c) Se o primeiro infinito for igual ao segundo ---> ∞ - ∞ = 0

Como não sabemos a priori qual é a hipótese certa, esta operação é proibida.

2)  ∞/∞ = (1/0)/(1/0) = (1/0).(0/1) = 0/0 ----> Indeterminação: conta proibida


3) 0. ∞ = 0.(1/0) = 0/0 ----> Idem

Entendo... Excelente explicação!!

E veja a prova para ∞ - ∞ :

∞ - ∞ = 2/0 - 1/0 = (2.0 - 1.0)/0 = 0/0 ----> Indeterminação: conta proibida

Eis mais uma: ∞⁰ = ∞^1-1 = ∞¹/∞¹ = ∞/∞ ----> indeterminação