um fazendeiro resolveu dividir

Um fazendeiro resolveu dividir 422 hectares de uma de suas fazendas entre seus 5 filhos, de idades distintas, de forma que as áreas recebidas por eles formassem uma progressão geométrica, cabendo ao mais novo a menor parte e ao mais velho a maior. Ao filho mais velho coube uma área de 162 hectares. Porém, dois dos irmãos resolveram unir as terras recebidas do pai para formar uma nova fazenda, dividindo despesas e lucros proporcionalmente às áreas a que fizeram jus pelas regras da partilha.
A área total dessa nova fazenda, em hectares, NÃO pode ser igual a:
a)80
b)120
c)160
d)194
e)234

kague escreveu:Um fazendeiro resolveu dividir 422 hectares de uma de suas fazendas entre seus 5 filhos, de idades distintas, de forma que as áreas recebidas por eles formassem uma progressão geométrica, cabendo ao mais novo a menor parte e ao mais velho a maior. Ao filho mais velho coube uma área de 162 hectares. Porém, dois dos irmãos resolveram unir as terras recebidas do pai para formar uma nova fazenda, dividindo despesas e lucros proporcionalmente às áreas a que fizeram jus pelas regras da partilha.
A área total dessa nova fazenda, em hectares, NÃO pode ser igual a:
a)80
b)120
c)160
d)194
e)234

Boa tarde,

a⁵ = a1*q⁴ = 162

S = a1*(q⁵-1)/(q-1) = 422  

162/q⁴ = 422*(q-1)/(q⁵-1)

162(q⁵-1) = 422*(q-1)*q⁴

162*q⁵ - 162 = 422*q⁵ - 422*q⁴

422*q⁵ - 162*q⁵ - 422*q⁴ + 162 = 0

260*q⁵ - 422*q⁴ + 162 = 0

130 q⁵ - 211 q⁴ + 81 = 0

Esta equação só consegui resolver usando o programa wolframalpha, cujas raízes reais são:
q' = 1
q" = 3/2

É óbvio que a razão (q) não pode ser igual a 1, logo resta-nos:
q = 3/2

Assim sendo, os 5 termos dessa PG devem ser:
:: 32 : 48 : 72 : 108 : 162

Possíveis somas de dois termos feitas entre o 1º e o 5º termos:
32+48 = 80
32+72 - 104
32+108 = 140
32+162 = 194
48+72 = 120
48+108 = 156
48+162 = 210
72+108 = 180
72+162 = 234
108+162 = 270

Excluindo-se 80, 120, 194  e 234 das alternativas oferecidas, restou:
160 - Alternativa (c).


Um abraço.

Ivomilton

Bela solução !!!
A alternativa C(160) não consta dos resultados das somas., logo é a alternativa certa

Obrigado pela resposta,o 194 e o 234 podem ser obtidos somando o 162 com 32 ou com 72. A resposta é 160. Será que não tem outra forma de resolver? Essa questão caiu no concurso CFO PMMS de 2012.

Elcioschin escreveu:Ivomilton

Bela solução !!!
A alternativa C(160) não consta dos resultados das somas., logo é a alternativa certa

Boa noite, caro Elcio.

Eu havia considerado que "dois irmãos" não estaria incluindo o irmão mais velho...
Obrigado pela ajuda muito oportuna.



Abraços.

kague escreveu:Obrigado pela resposta,o 194 e o 234 podem ser obtidos somando o 162 com 32 ou com 72. A resposta é 160. Será que não tem outra forma de resolver? Essa questão caiu no concurso CFO PMMS de 2012.

Boa noite, kague.

Encontrei solução no link abaixo:

http://brainly.com.br/tarefa/4107


Quem resolveu não explicou como chegou a 162 =32.(3/2)⁴.  
Mas acredito que agora já compreendi como foi resolvido:
162 = a1.q⁴ 
162 = 2.3.3.3.3.
162 = 2.3⁴ 
162 = y.(3⁴/x⁴)
162 = y/x⁴.3⁴

y/x⁴ = 2
y = 2x⁴

Se fizermos x=2, fica:
y = 2.2⁴ = 2⁵
y = 32

Donde se chega a:
162 = 32.(3⁴/2⁴)
162 = 32.(3/2)⁴





Um abraço.

162 = 2.3^4 = (32/16).3^4 = (32/2^4).3^4 = 32.(3^4/2^4) = 32.(3/2)^4