Modos de sentar em fila
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Modos de sentar em fila
por Ashitaka Sáb 05 Jul 2014, 18:21
De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3 turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?
Ashitaka- Monitor
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Re: Modos de sentar em fila
por Elcioschin Dom 06 Jul 2014, 09:16
Para a primeira casa à esquerda existem 3 opções: I, F, T
Para a segunda casa restam 2 opções (não pode ser igual ao da 1ª casa)
O mesmo vale para a s demais casas, até a 8ª casa.
Para a 9ª casa existe apenas 1 opção (a nacionalidade que restou)
__ __ __ __ __ __ __ __ __
3 . 2. 2.. 2. 2.. 2.. 2 .2 ..1 ----> n = 3.27.1 ---> n = 384
Tens a resposta?
Para a segunda casa restam 2 opções (não pode ser igual ao da 1ª casa)
O mesmo vale para a s demais casas, até a 8ª casa.
Para a 9ª casa existe apenas 1 opção (a nacionalidade que restou)
__ __ __ __ __ __ __ __ __
3 . 2. 2.. 2. 2.. 2.. 2 .2 ..1 ----> n = 3.27.1 ---> n = 384
Tens a resposta?
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Modos de sentar em fila
por Ashitaka Dom 06 Jul 2014, 11:58
Após ter postado a questão, foi encontrado um gabarito na internet que diz: 37584.
Mais tarde, surgiu, uma solução em um outro grupo mas ela usou umas técnicas de princípio da inclusão-exclusão e, como eu ainda não estudei isso, não entendi. A pessoa que deu esta resolução sugeriu que eu estudasse o assunto e depois voltasse nesta questão, se não não entenderia nada, ou seja, não adiantou muita coisa pra mim, por agora
A resolução foi a seguinte:
"Supondo que as pessoas do mesmo país são indistinguíveis, e chamando as pessoas de As, Bs e Cs de acordo com a nacionalidade:
Total: 9! / 3!3!3! = 1680
Número de conjuntos em que pelo menos dois As estão juntos (A): 8!/3!3! - 7!/3!3! = 1120 - 140 = 980
Por simetria, B = C = 980
Dois As estão juntos e dois Bs estão juntos (AB): 7!/3! - 6!/3! - 6!/3! + 5!/3! = 840 - 120 - 120 + 20 = 620
Por simetria, AC = BC = 620
Dois As estão juntos e dois Bs estão juntos e dois Cs estão juntos (ABC): 6! - 5! - 5! - 5! + 4! + 4! + 4! - 3! = 426
Terminando a exclusão:
Resposta = Total - A - B - C + AB + AC + BC - ABC
= 1680 - 980 - 980 - 980 + 620 + 620 + 620 - 426
= 174
Se as pessoas do mesmo país forem distinguíveis, multiplica esse resultado por 216 (3!*3!*3!) pra obter 37584."
Mais tarde, surgiu, uma solução em um outro grupo mas ela usou umas técnicas de princípio da inclusão-exclusão e, como eu ainda não estudei isso, não entendi. A pessoa que deu esta resolução sugeriu que eu estudasse o assunto e depois voltasse nesta questão, se não não entenderia nada, ou seja, não adiantou muita coisa pra mim, por agora
A resolução foi a seguinte:"Supondo que as pessoas do mesmo país são indistinguíveis, e chamando as pessoas de As, Bs e Cs de acordo com a nacionalidade:
Total: 9! / 3!3!3! = 1680
Número de conjuntos em que pelo menos dois As estão juntos (A): 8!/3!3! - 7!/3!3! = 1120 - 140 = 980
Por simetria, B = C = 980
Dois As estão juntos e dois Bs estão juntos (AB): 7!/3! - 6!/3! - 6!/3! + 5!/3! = 840 - 120 - 120 + 20 = 620
Por simetria, AC = BC = 620
Dois As estão juntos e dois Bs estão juntos e dois Cs estão juntos (ABC): 6! - 5! - 5! - 5! + 4! + 4! + 4! - 3! = 426
Terminando a exclusão:
Resposta = Total - A - B - C + AB + AC + BC - ABC
= 1680 - 980 - 980 - 980 + 620 + 620 + 620 - 426
= 174
Se as pessoas do mesmo país forem distinguíveis, multiplica esse resultado por 216 (3!*3!*3!) pra obter 37584."
Ashitaka- Monitor
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