Problema de números complexos

Analise as afirmações seguintes sobre o número complexo z =1+i/raiz 2:

0-0) z é uma das raízes quadradas do complexo i.
1-1) z^2012 = 1.
2-2) z, z3, z5 e z7 são as raízes complexas da equação x4 + 1 = 0.

R=v,f,v

Gostaria de uma explicação detalhada em como comprovar a veracidade ou não das afirmativas expostas acima.Desde já, obrigado.

Olá.

Ambos os números são numeradores da fração?

Sim 1 e i são os numeradores

Ok.

z = (1+i)/√2 .:. z = √2/2 + √2i/2 .:. z = cis(45°)

0-0: É fácil de testar nesse caso:

Se z for raiz quadrada de i, z² será igual à i.

Pela primeira Lei de Moivre, se z = cis(45°), z² = cis(90°) = i

Verdadeira

1-1: Novamente pela Lei de Moivre: z^{2012} = cis(45°2012) = cis(90540°) = cis(360°*251 + 180°) = cis(180°) = -1

Falsa

2-2: z = cis(45°), z3 = cis(135°), z5= cis(225°), z7 = cis(315°)

x^4 + 1 =0 .:. x^4 = -1 .:. x^4 = 1 * (cos pi - i*sen pi) .:. x^4 = cis(pi)

Pela segunda Lei de Moivre, as raízes quartas serão dadas por:

cis [ (pi + 2kpi)/4 ], com k = 0,1,2,3.

Então:

k = 0 --> x = cis(pi/4)
k = 1 --> x = cis(3pi/4)
k = 2 --> x = cis(5pi/4)
k = 3 --> x = cis(7pi/4)

Logo, alternativa verdadeira (não se esqueça de converter os valores para graus (ou vice-versa) se tiver duvidas).

Att.,
Pedro