Derivadas e funções

Seja a>0 e considere a função f(x)=ax². Seja P=(xo,yo), xo≠0, o ponto de tangência da reta y=mx+n à curva plana representada pelo gráfico de f.

a) Expressar m e n em função de a e xo.
b) Obter o ponto Q, interseção da reta tangente com o eixo Oy.
c) Considere F=(0,f) o foco da parábola e d: y= -f a sua reta diretriz. mostre que o triângulo FPQ é isósceles.

a) 
Coeficiente angular m = f '(xo). Derivada de f:
f '(x) = 2ax
.:. m = 2axo

yo = mxo + n (1)
yo = a(xo)² (2)

(1) e (2):
mxo + n = a(xo)² --> n = a(xo)² - mxo = a(xo)² - 2a(xo)² --> n = -a(xo)²

b)
Como Q pertence ao eixo Oy, então Q(0,yq) e:
yq = m.0 + n = n --> yq = -a(xo)²
.:. Q(0,-a(xo)²)


c)
Para qualquer ponto S(x,y) da parábola vale a propriedade:
d(S,F) = d(S,d) --> [d(S,F)]² = [d(S,d)]² --> (x - 0)² + (y - f)² = (y + f)² --> x² -4fy = 0 --> y = x²/4f

Logo, y = x²/4f também é equação da parábola e tem-se a = 1/4f e Q(0,-(xo)²/4f). Sendo P(xo,(xo)²/4f), tem-se:
d(F,P) = √((xo - 0)² + ((xo)²/4f - f)²) = √(((xo)²/4f)² + (xo)²/2 + f²) = √((xo)²/4f + f)²
d(F,Q) = √((0 - 0)² + (-(xo)²/4f - f)²) = √(-(xo)²/4f - f)² = √((xo)²/4f + f)²

Portanto as distâncias d(F,P) e d(F,Q) são iguais, e assim conclui-se que o triângulo FPQ é isósceles.

Obrigado!