Volume obtido por revolução

por Rafael113 Ter 29 Abr 2014, 09:04

Bom dia,

Estou com dúvida no seguinte exercício: calcule o volume obtido pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelas curvas x = 2y-y² e x=0.

O que pensei em fazer: obter y em função de x, separando a curva em 2 funções: f(x) = 1+ sqrt (1-x) e g(x) = 1-sqrt(1-x). A partir daí, obter o volume pelas integrais de pi *f(x)² e pi*g(x)² entre 0 e 1, e depois somar os resultados.

Gostaria de saber se há um modo mais prático de fazer este tipo de questão, sem ter que separar em 2 funções.

Muito obrigado.

por **Elcioschin** Ter 29 Abr 2014, 09:28

A curva x = 2y - y² é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x, raízes y = 0 e y = 2 e vértice V(1, 1)
Note que x = 0 é o eixo y. Logo a curva deve girar em torno do eixo y.
Basta integrar, então, diretamente em relação à variável y

por Rafael113 Qua 30 Abr 2014, 10:19

Elcioschin, o exercício pede que a revolução seja em torno do eixo x.

por **Elcioschin** Qua 30 Abr 2014, 11:58

Desculpe-me: eu interpretei errado o enunciado.

Neste caso o seu caminho está correto

A 1ª função deverá ser integrada entre x = 1 (vértice da parábola) e x = 2

A 2ª função deverá ser integrada entre x = 0 e x = 1 (vértice da parábola)

por Man Utd Qua 30 Abr 2014, 23:01

existe um meio de não ter que separar em duas funções , usando o metódo das cascas só que apropriado para o eixo "x" que é :

$\\\\\\ \int_{a}^{b} \; 2\pi yf(y) \; dy$

então :

$\\\\\\ \int_{0}^{2} \; 2\pi y(2y-y^2) \; dy$

só resolver. Very Happy