Fuvest - função trigonométrica

por brendad Qua 02 Abr 2014, 11:10

Considere a função:
f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).
a) Resolva a equação f(x)=0 no intervalo [0,π].
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação
y=8/5?

Resp:
a) S = {0, pi/9, pi/2, pi}
b) f(x) = sen x.cos x (1 - 2cos 3x)
vmáx de sen x. cos x = 1/2
vmáx de (1 - 2cos 3x) = 3
f(x) = 1,5 < 8/5 = 1,6 (não intercepta)

Obrigada!

por Luck Qua 02 Abr 2014, 19:26

senxcosx + (1/2)(senx-sen5x) = 0
2senxcosx + senx-sen5x = 0
sen2x + senx - sen5x = 0
sen2x + 2sen(-2x)cos3x = 0
sen2x(1 -2cos3x) = 0
sen2x= 0 ∴ 2x = kpi ∴ x = kpi/2 , no intervalo [0,pi] : x = 0,x = pi/2, x = pi
cos3x= 1/2 ∴ 3x = pi/3 + 2kpi ou 3x = -pi/3 + 2kpi
x = pi/9 + 6kpi/9
x = -pi/9 + 6kpi/9
No intervalo [0,pi], temos: x = pi/9, x = 5pi/9,x= 7pi/9
S= { 0, pi/9, pi/2 , 5pi/9 , pi , 7pi/9 }

b) y = (1/2)sen2x(1-2cos3x)
nunca atingirá esse valor, seja cos3x = -1 por exemplo para obter o máximo dentro dos parênteses, temos :
y = (1/2)sen(2pi/3).3 = 3√3/4 =~ 1,3

por JohnnyC Sáb 06 Jun 2020, 04:02

pessoal, estou há tempão na letra a) por uma razão: não consegui encontrar o valor x = 7pi/9.
como ele foi encontrado ? porque, através de conta, eu consegui todos os outros valores.