Questões básicas de limites

por yuricastilho Ter 04 Fev 2014, 15:19

Não consegui os seguintes exercícios:

$\\a)\;\;\lim_{x\to3}\frac{x^3-9}{x-3}\;\;\;\;\;\;b)\;\;\lim_{x\to4}\frac{x^2-7x+12}{x-4}\;\;\;\;\;\;c)\;\;\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-3x +2}$

Creio que a chave seja fazer fatoração e transformações algébricas, mas não consegui resolver.

por **Euclides** Ter 04 Fev 2014, 18:09

yuricastilho escreveu:Creio que a chave seja fazer fatoração e transformações algébricas, mas não consegui resolver.

$\\a)\;\;\lim_{x\to3^+}\frac{x^3-9}{x-3}=\frac{27-9}{0}\to +\infty\\\\\lim_{x\to3^-}\frac{x^3-9}{x-3}=\frac{27-9}{0}\to -\infty\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\nexists \lim_{x\to3}\frac{x^3-9}{x-3} \\\\\\b)\;\;\lim_{x\to4}\frac{x^2-7x+12}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{(x-3)(x-4)}{x-4} =\lim_{x\to4}(x-3)=1$

por yuricastilho Qua 05 Fev 2014, 21:07

Obrigado, com o exemplo da b) eu consegui fazer o c).
Ainda não entedi o a). Porque o limite pela esquerda é - infinito e pela direita é + infinito se ambos são (27 - 9)/0 ???

por **Euclides** Qua 05 Fev 2014, 21:19

yuricastilho escreveu:Obrigado, com o exemplo da b) eu consegui fazer o c).
Ainda não entedi o a). Porque o limite pela esquerda é - infinito e pela direita é + infinito se ambos são (27 - 9)/0 ???

Primeiro, na verdade esse limite deveria ser

$\lim_{x\to 3}\frac{x^3-{\color{Red} 27}}{x-3}$

que seria um caso de fatoração.

como está, fica bem mais difícil de ver.

$\lim_{x\to 3}\frac{x^3-{ 9}}{x-3}\;\;\to\;\;se\;\begin{cases}x=2,9\;\to\;f(x)<0\\x=3,1\;\to\;f(x)>0 \end{cases}$

portanto um limite tende a -∞ e o outro tende a +∞.