Equação Logarítmica

Resolva a equação log₂ (-x² + 6x)² = 0.

OBS.: Não tenho o gabarito, mas encontrei a seguinte solução {3 ±  2√2, 3 ±  √10}, mas minha dúvida não está na resolução da equação, e sim na montagem da condição de existência, uma vez que fiquei com dúvida se a propriedade do "logaritmo da potência" deveria/poderia ser aplicada, i.e.

(i) para fazer a CE, devo/posso fazer (-x² + 6x)² > 0. Nesse caso todas as soluções citadas acima verificam a CE; ou

(ii) 2.log₂ (-x² + 6x) = 0, e em seguida (-x² + 6x) > 0. Nesse caso, apenas as duas primeiras soluções citadas verificam esta CE.

Essa dúvida é muito legal, porque, na verdade, o problema está em um aspecto bem "besta":

Vamos supor a expressão .

Se eu a coloco para você e peço quais são os valores que x poderia assumir, você olharia para o x ao quadrado, veria que ele é sempre positivo (a não ser quando x=0), e diria que x pode ser qualquer número real a não ser o zero. E é verdade...

Agora, se eu resolvesse colocar a expressão e fizesse a mesma pergunta, você me diria que x só pode ser positivo. Também é verdade !

A questão é que a igualdade das 2 expressões acima, ou seja, , só é verdadeira se ambos os lados da equação estão definidos. Se x é negativo, por exemplo, essa igualdade é falsa.

Os valores que x pode assumir, portanto, dependem da forma em que a expressão vem escrita na questão.