(Teórica)Integral - Mudança de variável

Fazendo  , chamei x = sqrt(7/8)tg(t), e cheguei no seguinte:



Achar tg(t) é fácil, masmpara achar sec(t), ou eu deixaria 1/cos(t) em função de sen(t) e x ou usaria que sec^2(t) = 1 + tg^2(t)

No primeiro caso, não consegui chegar à lugar algum, mas do segundo modo, utilizando que sec(t) = + sqrt( 1 + tg^2(t) ) eu chego à resposta correta. Mas,mpor que eu não deveria considerwr sec(t) = - sqrt( 1 + tg^2(t) ) ? 

Existe algo que "não convém" por causa do log ou, de fato, existe outra forma de fazer que elimina esse problema?
Na verdade, a resposta não utiliza módulo no ln. 

Obrigada

Essa questão deveria ser feita através de substituição trigonométrica.