Oscilações - Duas partículas ligadas por mola

por SanQae Ter 11 Jun 2013, 18:13

Duas partículas de massas m1 e m2 , ligadas por uma mola de constante elástica K e tamanho L, estão em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Fazendo-se esse sistema de massa+mola oscilar como um MHS, encontre a sua frequência.

Resposta: f = √(k /μ)/2π onde μ=m1m2/(m1+m2)

por **Euclides** Ter 11 Jun 2013, 18:34

Nesses casos, de duas massas oscilando ligadas a uma mesmna mola, a expressão da frequência é a mesma, mas a massa do sistema é uma "massa equivalente" dada por

$m_e=\frac{m_1.m_2}{m_1+m_2}\;\;\;\to\;\;\;f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_e}}$

por SanQae Ter 11 Jun 2013, 18:36

Como chego na expressão da massa equivalente?

por **Euclides** Ter 11 Jun 2013, 18:39

A expressão original é esta

$\dpi{120} \frac{1}{m}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$

por SanQae Ter 11 Jun 2013, 18:41

Obrigado. Essa expressão é válida só para sistemas massa-mola?

por **Euclides** Ter 11 Jun 2013, 19:14

SanQae escreveu:Obrigado. Essa expressão é válida só para sistemas massa-mola?

duas massas ligadas a uma única mola oscilam como se a massa fosse uma equivalente calculada daquele modo. Esse conceito só se aplica a esse caso.

por SanQae Ter 11 Jun 2013, 22:14

Achei no Moysés vol. 2 como se chega nessa massa equivalente nesse caso específico. Me parece que quem estuda mais mecânica aprende mais sobre massa equivalente/massa reduzida.

Ele fez assim:
Oscilações - Duas partículas ligadas por mola AGi1a22AB09LAAAAABJRU5ErkJggg==

Oscilações - Duas partículas ligadas por mola AGi1a22AB09LAAAAABJRU5ErkJggg==

(imagem do Moysés).

x = (x2 - x1) - L (3.3.35)

F1 = kx = -F2 (3.3.36)

o que significa dizer que:

m1x1" = kx e m2x2" = -kx (3.3.37)

Multiplicando a primeira (3.3.37) por m2 e a segunda por m1 e subtraindo termo a termo, temos:

μx" = - kx , sendo μ = m1.m2 / (m1 + m2)

Afinal, X"=x2"-x1". Temos que k/μ é ω², e então é só usar ω=2πf e achar a resposta desejada.