Área máxima

"Determine o retângulo de área máxima inscrito num triângulo de base B e altura H."

Como fazer isso??

victorheiji escreveu:"Determine o retângulo de área máxima inscrito num triângulo de base B e altura H."

Como fazer isso??

Boa tarde, Victor.

Faça o esboço de um triângulo, nomeando seus vértices assim:
A, o vértice superior; B, o inferior esquerdo; e C, o inferior direito.

Trace sua altura relativa à base BC, designando pela letra Q sua intersecção com a base.

Insira nele o retângulo, nomeando seus vértices pelas letras:
E, o superior esquerdo e F, o superior direito; D, o inferior esquerdo e G, o inferior direito (estando estes últimos (D e G) sobre a base BC.

Designe pela letra P o cruzamento de AH com EF.
AQ = H = altura ∆ABC
AP = h = altura ∆AEF
BC = B
MH = x = altura do retângulo
EF = DG = y = largura do retângulo

Considerando-se a semelhança entre os triângulos AEF e ABC, podemos escrever:
AP/AQ = EF/BC
h/H = y/B

Como h=H-x, fica:
(H-x)/H = y/B

Da proporção supra, obtemos:
B(H-x) = Hy
BH - Bx = Hy
BH - Hy = Bx
x = H(B-y)/B

Área do retângulo:
x*y = H(B-y)/B * y
Área = Hy(B-y)/B = (HBy - Hy²)/B = HBy/B - Hy²/B
Área = (-H/B)y² + Hy

O gráfico da equação supra é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coef. y² é negativo); logo, em seu vértice teremos uma ordenada de valor máximo.
Abcissa vértice (y) = -b/2a = -H/(-2H/B) = -H * B/(-2H) = -HB/(-2H) = B/2 = largura máx. retângulo

x = H(B-y)/B
x = H(B - B/2)/B = H(B/2)/B = (HB/2)/B = HB/2B = H/2 = altura máx. retângulo

Conclusão:

Retângulo de área máxima é aquele que tem por dimensões:
Metade da altura (H) * metade da base (B) = (H/2)*(B/2) = HB/4





Um abraço.