Identidade.
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Identidade.
por Mayara Corrêa Qui 14 Mar 2013, 18:53
Se a + b + c = 0, em que a, b e c são números reais diferentes de zero, qual a opção que é uma identidade?
(A) a³ - b³ + c³= 3abc
(B) a³ + b³ + c³= -3abc
(C) a³ + b³ + c³= 3abc
(D) a³ - b³ - c³= -3abc
(E) a² + b² + c²= -2abc
O que uma identidade?
Gabarito: C.
(A) a³ - b³ + c³= 3abc
(B) a³ + b³ + c³= -3abc
(C) a³ + b³ + c³= 3abc
(D) a³ - b³ - c³= -3abc
(E) a² + b² + c²= -2abc
O que uma identidade?
Gabarito: C.
Mayara Corrêa- Jedi
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Localização : Rio de Janeiro.
Re: Identidade.
por JoaoGabriel Qui 14 Mar 2013, 19:45
--> a + b + c = 0 --> (a + b + c)² = 0
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
--> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 0
--> a + b + c = 0 --> (a + b + c)³ = 0
(a + b + c)³= k = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² +3b²c + 3bc²
Substituição em k apenas para facilitar. Sabemos que k = 0.
k = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3ab(a + b) + 3ac(a + c) + 3bc(b + c)
Só que podemos escrever:
a + b = -c
a + c = -b
b + c = -a
Logo:
k = a³ + b³ + c³ + 6abc - 3abc - 3abc - 3abc
k = a³ + b³ + c³ - 3abc
Mas como k = 0:
a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 --> a³ + b³ + c³ = 3abc
O que nos leva a letra C.
Abraços
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
--> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 0
--> a + b + c = 0 --> (a + b + c)³ = 0
(a + b + c)³= k = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² +3b²c + 3bc²
Substituição em k apenas para facilitar. Sabemos que k = 0.
k = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3ab(a + b) + 3ac(a + c) + 3bc(b + c)
Só que podemos escrever:
a + b = -c
a + c = -b
b + c = -a
Logo:
k = a³ + b³ + c³ + 6abc - 3abc - 3abc - 3abc
k = a³ + b³ + c³ - 3abc
Mas como k = 0:
a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 --> a³ + b³ + c³ = 3abc
O que nos leva a letra C.
Abraços
JoaoGabriel- Monitor
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Re: Identidade.
por Luck Qui 14 Mar 2013, 23:37
É bom ter em mente a fatoração clássica, que matava direto o exercício:
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)
sendo a+b+c = 0 , a³ + b³ + c³ = 3abc
demonstração:
a³ + b³ + c³ - 3abc =
= (a+b)³ + c³ - 3ab(a+b) - 3abc
= (a+b+c)[ (a+b)² - (a+b)c + c² ] - 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)[ a² + 2ab + b² -ac - bc + c²] -3ab(a+b+c)
=(a+b+c) (a² + b² + c² - ab - bc - ac)
outra demonstração:
https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)
sendo a+b+c = 0 , a³ + b³ + c³ = 3abc
demonstração:
a³ + b³ + c³ - 3abc =
= (a+b)³ + c³ - 3ab(a+b) - 3abc
= (a+b+c)[ (a+b)² - (a+b)c + c² ] - 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)[ a² + 2ab + b² -ac - bc + c²] -3ab(a+b+c)
=(a+b+c) (a² + b² + c² - ab - bc - ac)
outra demonstração:
https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante
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