Geometria II - Morgado, cap. 5

por Juliana F. Sex 10 Nov 2023, 16:40

Questão 176) Os lados de um triângulo ABC são a, b e c. O valor de (cosÂ/a) + (cosB/b) + (cosC/c) é:

Gab.: (D) (a² + b² + c²)/ 2abc

Não estou entendo como chegar no resultado, já que um ângulo precisa ser de 90 graus, não?

por **Elcioschin** Sex 10 Nov 2023, 16:53

Pode ser qualquer triângulo

Um possível caminho é usar Lei dos Senos:

senA/a = senB/b = senC/c

sen²A/a² = sen²B/b² = sen²C/c²

(1 - cos²A)/a² = (1 - cos²B)/b² = (1 - cos²C)/c²

Tente continuar

por Juliana F. Seg 13 Nov 2023, 15:56

Elcioschin escreveu:Pode ser qualquer triângulo

Um possível caminho é usar Lei dos Senos:

senA/a = senB/b = senC/c

sen²A/a² = sen²B/b² = sen²C/c²
...

Não consegui desenvolver dessa forma, mas pensei em outra solução usando lei dos cossenos:

a² = b² + c² -2bc.cosA
b² = a² + c² -2ac.cosB
c² = a² + b² -2ab.cosC

Isolando o cosseno: cosA = (b² + c² - a²)/ 2bc , cosB = (a² + c² - b²)/ 2ac , cosC = (a² + b² - c²)/ 2ab

Logo,

(cosÂ/a) + (cosB/b) + (cosC/c) = (b² + c² - a²)/ 2abc + (a² + c² - b²)/ 2acb + (a² + b² - c²)/ 2abc
= (a² + b² + c²)/ 2abc

Fiz algo errado?

por **Giovana Martins** Seg 13 Nov 2023, 16:01

Juliana F. escreveu:
Elcioschin escreveu:Pode ser qualquer triângulo

Um possível caminho é usar Lei dos Senos:

senA/a = senB/b = senC/c

sen²A/a² = sen²B/b² = sen²C/c²
...
Não consegui desenvolver dessa forma, mas pensei em outra solução usando lei dos cossenos:

a² = b² + c² -2bc.cosA
b² = a² + c² -2ac.cosB
c² = a² + b² -2ab.cosC

Isolando o cosseno: cosA = (b² + c² - a²)/ 2bc , cosB = (a² + c² - b²)/ 2ac , cosC = (a² + b² - c²)/ 2ab

Logo,

(cosÂ/a) + (cosB/b) + (cosC/c) = (b² + c² - a²)/ 2abc + (a² + c² - b²)/ 2acb + (a² + b² - c²)/ 2abc
= (a² + b² + c²)/ 2abc

Fiz algo errado?