Aritmética Elementar: Divisibilidade, cap.6

Qual o dígito que deve ser colocado no lugar de "?" no número 888.......?999...99 (onde os dígitos 8 e os dígitos 9 são escritos 50 vezes cada um) para que o número resultante seja divisível
por 7?


Gab.: 5

[latex]\begin{align*} \overline{\underbrace{888\cdots 88}_{50}a \underbrace{999\cdots 99}_{50}} &=\left(10^{51}\cdot \displaystyle\sum_{i = 0}^{49}8\cdot 10^{i} \right)+a\cdot 10^{50}+\left( \displaystyle\sum_{i = 0}^{49}9\cdot 10^{i} \right) \\~\\ & =\left((7+3)^{51}\cdot \displaystyle\sum_{i = 0}^{49}(7+1)\cdot (7+3)^{i} \right)+a\cdot (7+3)^{50}+\left( \displaystyle\sum_{i = 0}^{49}(7+2)\cdot (7+3)^{i} \right) \\~\\ & \equiv 3^{51}\cdot \left(\displaystyle\sum_{i = 0}^{49}3^{i} \right)+a\cdot 3^{50}+2\cdot \left( \displaystyle\sum_{i = 0}^{49} 3^{i} \right) \mod (7)\\~\\ \end{align*}[/latex]


Pelo pequeno pequeno teorema de fermat, temos [latex] 3^6 \equiv 1 \mod 7[/latex], logo [latex] 3^{50}  = 3^{48}\cdot 3^2 \equiv 3^2 \equiv 2 \mod 7 [/latex] e [latex] 3^{51}  = 3\cdot 3^{50} \equiv 3\cdot 2 \equiv -1 \mod 7 [/latex] . Logo
    [latex]\begin{align*} \overline{\underbrace{888\cdots 88}_{50}a \underbrace{999\cdots 99}_{50}}& \equiv 3^{51}\cdot \left(\displaystyle\sum_{i = 0}^{49}3^{i} \right)+a\cdot 3^{50}+2\cdot \left( \displaystyle\sum_{i = 0}^{49} 3^{i} \right) \mod (7)\\~\\ & \equiv (-1) \cdot \left(\displaystyle\sum_{i = 0}^{49}3^{i} \right)+2a+2\cdot \left( \displaystyle\sum_{i = 0}^{49} 3^{i} \right) \mod (7)\\~\\ & \equiv 2a+ \displaystyle\sum_{i = 0}^{49} 3^{i} \mod (7)\\~\\ \end{align*}[/latex]

A gente sabe que [latex] 3^6 \equiv 1 \mod 7[/latex]. Então vai ter um ciclo no somatório de tamanho 6.  Também sabemos que [latex] 3^{3} = 27 = 28-1 \equiv -1 \mod 7 [/latex]. Então tem um ciclo positivo de tamanho 3 e um ciclo negativo de tamanho 3. Observe:

[latex] \displaystyle\sum_{i = 0}^{6} 3^{i}   = 3^0 +3^1+3^2+3^3+3^4+3^5 \equiv 1+3+3^2 +(-1) +(-1)\cdot 3 + (-1)\cdot3^2 \equiv 0 \mod 7 [/latex]. Temos 8 ciclos até 47. Então:

   [latex]\begin{align*} \overline{\underbrace{888\cdots 88}_{50}a \underbrace{999\cdots 99}_{50}} & \equiv 2a+ \displaystyle\sum_{i = 0}^{49} 3^{i} \mod (7)\\~\\ 
& \equiv 2a+ 3^{48}+3^{49}+\displaystyle\sum_{i = 0}^{7} \left(3^{6i} + 3^{6i+1} + 3^{6i+2} + 3^{6i+3} + 3^{6i+4} + 3^{6i+5}  \right) \mod (7) \\~\\
&\equiv 2a+ 1+3+ 0 \mod (7) \\~\\
&\equiv 2a +4
\end{align*}[/latex]

Igualando a zero, temos [latex] 2a + 4 \equiv 0 \mod 7 [/latex]. Como mdc(2,7) = 1, temos [latex] 2a + 4 \equiv 0 \mod 7 \iff a+2\equiv 0 \mod 7 \iff a \equiv 5 \mod 7[/latex].

Como 0 <= a < 10, temos a = 5.

Vocẽ poderia perceber também de forma análoga (pelo teorema de fermat) que 7 divide 10^6 -1 = 999999 = 9*111111. Logo 7 divide 111111, logo 7 divide 888888 e 999999. Aí o problema se reduz a achar a que faz 88a99 ser divisível por 7.

tales amaral escreveu:...

Você saberia me dizer se tem outra maneira de resolver que não seja utilizando congruência? Pergunto isso, pois o livro não abrange esse assunto. 

Aliás, obgd pela ajuda!

Juliana F. escreveu:

tales amaral escreveu:...

Você saberia me dizer se tem outra maneira de resolver que não seja utilizando congruência? Pergunto isso, pois o livro não abrange esse assunto. 

Aliás, obgd pela ajuda!

Qual o nome do livro?

No final da minha resolução tem uma forna:

"Vocẽ poderia perceber também de forma análoga (pelo teorema de fermat) que 7 divide 10^6 -1 = 999999 = 9*111111. Logo 7 divide 111111, logo 7 divide 888888 e 999999. Aí o problema se reduz a achar a que faz 88a99 ser divisível por 7."

tales amaral escreveu:

Juliana F. escreveu:

tales amaral escreveu:...

Você saberia me dizer se tem outra maneira de resolver que não seja utilizando congruência? Pergunto isso, pois o livro não abrange esse assunto. 

Aliás, obgd pela ajuda!

Qual o nome do livro?
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Aritmética Elementar do Ivan Mendes e Iury Kersnowsky