Quadrado e intersecção com o eixo das abscissas

por Zeroberto Qui 14 Set 2023, 18:02

ABCD é um quadrado, A pertence ao 4° quadrante, B pertence ao 2° quadrante, C pertence ao primeiro quadrante e D = (8, 0). Sabendo que a origem O pertence ao lado AB e que BC intercepta o eixo das ordenadas em (0, 6), encontre as coordenadas de P, onde P é a intersecção de AC com o eixo das abscissas.

a) \( (\frac{6}{5},0) \)

b) \( (\frac{7}{5},0) \)

c) \( (\frac{8}{5},0) \)

d) \( (\frac{9}{5},0) \)

e) \( (2,0) \)

por **Giovana Martins** Sáb 16 Set 2023, 00:14

Amigos, tem algo muito errado na minha resolução, mas não estou encontrando. O que eu fiz de errado?

Quadrado e intersecção com o eixo das abscissas B+XHpWyY5krvAAAAAElFTkSuQmCC

[latex]\\\mathrm{A_{\bigtriangleup MOP}+A_{\bigtriangleup MPD}=A_{\bigtriangleup MOD}\to \frac{1}{2}\cdot 6\cdot x_P+\frac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix} 0 & 6 & 1\\ 8 & 0 & 1\\ \mathrm{x_P} &0 &1 \end{Vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\ \therefore\ x_P=8}\\\\ [/latex]

por Zeroberto Sáb 16 Set 2023, 12:03

Olá, Giovana!
Que curioso, parece estar perfeitamente certo. Peguei emprestada a sua ideia e tentei calcular a área daquele triângulo PMD por outra ordem, mas desenvolvi tudo e só cheguei em 0 = 0.
Já tentei usar semelhança, calcular retas, vários pitágoras... mas o probleminha está embaçado.

por **Elcioschin** Sáb 16 Set 2023, 12:11

A figura não mostra um quadrado, e sim um retângulo.
Para formar um quadrado acho que o ponto A deve ficar um pouco mais perto do eixo y e reta AB deve fazer um ângulo menor com o eixo y
Isto deve ser feito por tentativa e erro. Infelizmente estou em viagem e impossibilitado de fazer a figura.
Pode ser também que haja erro no enunciado.

De qualquer modo, sejam A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(8, 0), M(0, 6) e O(0, 0)

Seja m > 0 o coeficiente angular das retas AD e BC e m' = -1/m o das retas AB e CD

Reta AD passa por O(0, 0) ---> y = (-1/m).x
Reta CD passa por D(8, 0) ---> y - 0 = (-1/m).(x - 8 )
Reta BC passa por M(0, 6) ---> y - 6 = (-1/m).(x - 0)
Reta AB passa por A(xA, yA) ---> y - yA = m.(x - xA)

por **Giovana Martins** Sáb 16 Set 2023, 14:43

Elcioschin escreveu:
A figura não mostra um quadrado, e sim um retângulo.
Para formar um quadrado acho que o ponto A deve ficar um pouco mais perto do eixo y e reta AB deve fazer um ângulo menor com o eixo y
Isto deve ser feito por tentativa e erro. Infelizmente estou em viagem e impossibilitado de fazer a figura.
Pode ser também que haja erro no enunciado.

Então, acontece que a minha figura está sem escala somente, mas os pontos que eu utilizei na resolução, se eu não estiver falando bobagem, independem do meu desenho. Isso que me intriga.

por **Giovana Martins** Sáb 16 Set 2023, 14:55

ZEROBERTO26 escreveu:
Olá, Giovana!
Que curioso, parece estar perfeitamente certo. Peguei emprestada a sua ideia e tentei calcular a área daquele triângulo PMD por outra ordem, mas desenvolvi tudo e só cheguei em 0 = 0.
Já tentei usar semelhança, calcular retas, vários pitágoras... mas o probleminha está embaçado.

Pois é. Não tenho muitas ideias mais para seguir. Uma outra possibilidade seria trabalhar com ângulos. Note que o triângulo MOD é pitagórico (6,8,10) = (3 x 2,4 x 2,5 x 2), o que implica ângulos de (90°, 53° e 37°).

Mas como a resolução chegou a um absurdo, a minha construção deve estar errada em algum lugar.

por **MarioCastro** Sáb 16 Set 2023, 20:16

Giovana, na sua resolução a matriz correta teria que ter a segunda linha trocada pela terceira, assim a determinante seria a mesma só que negativa. No final daria 0=0

por **Giovana Martins** Sáb 16 Set 2023, 20:31

MarioCastro escreveu:
Giovana, na sua resolução a matriz correta teria que ter a segunda linha trocada pela terceira, assim a determinante seria a mesma só que negativa. No final daria 0=0

Mário, acredito que não fará diferença ao fazermos a permuta das linhas, pois note que eu coloco o módulo no determinante justamente para eu ajustá-lo ao problema, isto é, para não termos uma área negativa. Consequentemente, o 0 = 0 já está contemplado. Eu apenas omiti esta etapa.

por **Medeiros** Sáb 16 Set 2023, 22:14

Giovana,
de início gostei da sua ideia, achei brilhante porque tornava tudo muito simples; mas fazendo as contas revelou-se inútil.

Ocorre que aquele determinante deve ser considerado em módulo e ao fazer isto ttemos duas possibilides:
x >= 8 , o que é um absurdo porque xP está aquém do vértice D(8, 0); ou
x < 8 , o que nos obriga inverter os sinais no módulo acarretando que a equação final resulta em 0 = 0.

Daqui a pouco posto a solução deste problema -- vou escrever. O gabarito está correto.

por **Giovana Martins** Sáb 16 Set 2023, 22:36

Medeiros escreveu:
Giovana,
de início gostei da sua ideia, achei brilhante porque tornava tudo muito simples; mas fazendo as contas revelou-se inútil.

Ocorre que aquele determinante deve ser considerado em módulo e ao fazer isto ttemos duas possibilides:
x >= 8 , o que é um absurdo porque xP está aquém do vértice D(8, 0); ou
x < 8 , o que nos obriga inverter os sinais no módulo acarretando que a equação final resulta em 0 = 0.

Daqui a pouco posto a solução deste problema -- vou escrever. O gabarito está correto.

Tamanho foi o meu desânimo quando vi aquele x = 8 kkkkkk.

Ansiosa pela resolução. Nesse tempo aí eu tentei algo por vetores também, mas cheguei em algumas contas esquisitas e deixei de lado por um tempo.