Matrizes e Determinantes

Dado o sistema de eixos x0y, vamos supor uma rotação α ao redor da origem. Obter a matriz A (matriz de rotação), tal que (imagem), isto é, A transforma as coordenadas de um ponto P no sistema antigo para o novo.




Resp.:

Seja Q a interseção do eixo x' com a reta vertical passando por P (em pontilhado na sua figura). Então

\(\cos \alpha= \dfrac{y'}{PQ} \implies PQ = \dfrac {y'}{ \cos \alpha}\)

Daí temos

\( \tan \alpha = \dfrac{y - PQ}{x} \implies x \sin \alpha = y \cos \alpha - PQ \cos \alpha = y \cos \alpha  - y'\)

\( \boxed{ y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha}\)

Por outro lado, o segmento QO tem medida \(x' - PQ \sin\alpha\). Daí:

\(\cos \alpha  = \dfrac{x}{QO}  \implies x' \cos \alpha - PQ \sin \alpha \cos \alpha = x \implies \)

\( x = x' \cos \alpha - y' \sin \alpha = x' \cos\alpha - (-x \sin \alpha + y \cos \alpha) \sin \alpha \implies \)

\( x -x \sin^2 \alpha + y \cos \alpha \sin \alpha = x' \cos \alpha \implies \boxed{x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha}\)

Organizando matricialmente temos:

\( \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha\\
y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha
\end{array} \right. \implies
\begin{bmatrix}
x' \\ y'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
- \sin \alpha & \cos \alpha
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}  \)