(ITA) Matrizes e Determinantes

Boa tarde/noite/dia! 
Essa questão do ITA está me deixando louco, mostrei ela ao meu professor de matemática do cursinho e ele também teve dificuldades para resolve-la.

(ITA) Seja a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1 e considere a matriz A:




Para que a característica de A seja máxima, o valor de "a" deve ser tal que:

a) a ≠ 10 e a ≠ 1/3.
b) a ≠  √10 e a ≠  1/3.
c) a ≠ 5 e a ≠  10.
d) a ≠  2 e a ≠  √3.
e) a ≠ 2 e a ≠ √10.

Resposta segundo o gabarito: B

Olá.

Observe que log_a 1 e log_10 1 valem 0. Seja então:

A' = |log_a 3a log_10 (3a)²|
       |log_a (1/a) -log_a a |
Mas log_a (1/a) e -log_a a valem -1. Logo:

A' = |log_a 3a log_10 (3a)²|
       |    -1               -1     |

det A' = log_10 (3a)² - log_a 3a .:.
det A' = 2*log_10 3a - (log_10 3a/log_10 a) .:.
det A' = log_10 3a * (2 - 1/log_10 a)
det A' = log_10 3a * (2 - log_a 10)

Para o determinante ser nulo, devemos ter:

log_10 3a = 0 ou 2 - log_a 10 = 0 .:. 3a = 1 .:. a = 1/3 ou a² = 10 .:. a = √10

Logo, para que a característica de A seja máxima, devemos ter D diferente de zero, ou seja,
a ≠  √10 e a ≠  1/3.

Att.,
Pedro

PedroCunha escreveu:Olá.

Observe que log_a 1 e log_10 1 valem 0. Seja então:

A' = |log_a 3a log_10 (3a)²|
       |log_a (1/a) -log_a a |
Mas log_a (1/a) e -log_a a valem -1. Logo:

A' = |log_a 3a log_10 (3a)²|
       |    -1               -1     |

det A' = log_10 (3a)² - log_a 3a .:.
det A' = 2*log_10 3a - (log_10 3a/log_10 a) .:.
det A' = log_10 3a * (2 - 1/log_10 a)
det A' = log_10 3a * (2 - log_a 10)

Para o determinante ser nulo, devemos ter:

log_10 3a = 0 ou 2 - log_a 10 = 0 .:. 3a = 1 .:. a = 1/3 ou a² = 10 .:. a = √10

Logo, para que a característica de A seja máxima, devemos ter D diferente de zero, ou seja,
a ≠  √10 e a ≠  1/3.

Att.,
Pedro

Incrível! Obrigado Pedro.

Precisando é só falar, .

1ª coluna

log[a](3a)

log[a](1/a) = log[a](1) - log[a](a) = 0 - 1 = -1

log[a](1) = 0

2ª coluna:

log[10](3a)² = log[a](3a)²/log[a](10) = 2.log[a](3a)/log[a](10)

- log[a](a) = - 1

log[10](1) = 0

A matriz simplificada é:

log[a](3a) ..... 2.log[a](3a)/log[a](10)

.... - 1 ..................... -1

...... 0 ..................... 0

Para que a característica de A seja máxima os dois termos da 1ª linha NÃO podem ser iguais:

log[a](3a) ≠ 2.log[a](3a)/log[a](10)

log[a](3a) - 2.log[a](3a)/log[a](10) ≠ 0

l{1 - 2./log[a](10)}.log[a](3a) ≠ 0

Temos duas exigências:

1 - 2/log[a](10) ≠0 ---> 2/log[a](10) ≠ 1 ---> log[a](10) ≠ 2 ---> a² ≠10 ---> a ≠  √10

log[a](3a) ≠ 0 ----> 3a ≠ 1 ----> a ≠ 1/3