É necessário utilizar álgebra nesse problema?

por LF021 Qua 28 Set 2022, 18:15

Me deparei com o seguinte problema e não entendi a álgebra utilizada em sua resolução. Afinal, como o próprio título e enunciado supõe que os números escritos no quadro são inteiros e positivos, não seria apenas necessário somar 1 a X até encontrarmos X^2?

5 Inteiros no quadro

Inicialmente, o número 1 e dois números positivos x e y estão escritos em um quadro
negro. Em cada movimento, um jogador pode escolher dois números sobre o quadro, não
necessariamente distintos, e escrever a sua soma ou a sua diferença no quadro. Também
podemos escolher um número não nulo no quadro e escrever o seu inverso. Após um
número finito de movimentos, descreva como podemos obter os seguintes números:

a) x^2

Gabarito comentado:

Se x = 1 não há o que fazer. Suponhamos então que x seja diferente de 1. Primeiramente, escreva
x + 1 e x − 1. Usando o movimento do inverso, podemos escrever 1/ x +1
e
1 /x −1
. Em
seguida, podemos escrever a diferença desses dois números: 2 /x^2 −1
. O inverso desse
último número é p =
x^2 −1/ 2
. Calculando p + p encontramos x^2 −1. Finalmente, basta
adicionar 1 para obter x ^2 −1+1 = x^2
.

por **Elcioschin** Qua 28 Set 2022, 18:29

1 , x , y ---> a Álgebra envolve soma, subtração, inverso de um número

Possibilidades de combinar

(x + 1) ---> (y + 1) ---> (y + x)

(x - 1) ----> (y - 1) ----> (y - x)

1/1 = 1 ---> 1/x ---> 1/y ---> x ≠0 , y ≠ 0

1ª escolha: soma ---> x + 1 ---> 2ª escolha: inverso --->1/(x + 1)
3ª escolha: subtração ---> x - 1 ----> 4ª escolha: inverso ---> 1/(x - 1)

5ª escolha ---> subtração ---> 1/(x - 1) - 1/(x + 1) = 2/(x² - 1)

6ª escolha ---> inverso = (x² - 1)/2

7ª escolha ---> Soma = (x² - 1)/2 + (x² - 1)/2 = x² - 1

8ª escolha ---> Soma (x² - 1) + 1 = x²