Teoria dos conjuntos

Seja [latex]\mathbb{Z}\left [ x \right ]=\left \{ a_{0}+ a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots + a_{n}x^{n}; a_{0}, a_{1}, \cdots , a_{n} \in \mathbb{Z}\right \}[/latex]. Se [latex]p (x) \in \mathbb{Z}\left [ x \right ][/latex], mostre que [latex]p(\sqrt{a})+p(-\sqrt{a})[/latex] é racional para todo [latex]a[/latex] racional positivo.

[latex]p(x) = a_n \cdot x^n +a_{n-1}\cdot x^{n-1} +\cdots +a_1\cdot x^1 +a_0[/latex]


[latex] p(\sqrt{a}) = a_n \cdot \left(\sqrt{a}\right)^n +a_{n-1}\cdot \left(\sqrt{a}\right)^{n-1} +\cdots +a_1\cdot \left(\sqrt{a}\right)^1 +a_0 [/latex]


Para n par:
[latex] \begin{align*} p(-\sqrt{a}) &= a_n \cdot \left(-\sqrt{a}\right)^n +a_{n-1}\cdot \left(-\sqrt{a}\right)^{n-1} +\cdots +a_1\cdot \left(-\sqrt{a}\right)^1 +a_0 \\~\\ &= a_n \cdot \left(\sqrt{a}\right)^n -a_{n-1}\cdot \left(\sqrt{a}\right)^{n-1} +\cdots -a_1\cdot \left(\sqrt{a}\right)^1 +a_0 \end{align*} [/latex]



[latex] \begin{align*} p(\sqrt{a}) + p(-\sqrt{a}) &= 2\cdot a_n \cdot \left(\sqrt{a}\right)^n +\left[a_{n-1}\cdot \left(\sqrt{a}\right)^{n-1}- a_{n-1}\cdot \left(\sqrt{a}\right)^{n-1}\right ] +\cdots +\left[a_1\cdot \left(\sqrt{a}\right)^1 - a_1\cdot \left(\sqrt{a}\right)^1 \right ]+2\cdot a_0 \\~\\ &=2\cdot \displaystyle\sum_{i = 0}^{\frac{n}{2}}{ \left[a_{2i} \cdot \left(\sqrt{a} \right )^{2i} \right ]} \\~\\ &= 2\cdot \displaystyle\sum_{i = 0}^{\frac{n}{2}}{(\underbrace{a_{2i}}_{\mathbb{Z}} \cdot \underbrace{a^{i}}_{\mathbb{Q}} )} \end{align*} [/latex]

A soma vai ser racional.

Para n ímpar vai chegar na mesma soma, só que o índice vai ser (n-1)/2.

Creio que seja isso