Números complexos

por mariana.ocampos Ter 05 Abr 2022, 18:23

Olá, pessoal! Preciso que me ajudem com essa questão da FMABC de 2010. Estou em dúvida na parte do sinal, minha resposta deu D, mas o gabarito diz que é E. Se alguém puder me ajudar, agradeço. Smile

Dados os complexos u = 4i, v =[latex]\sqrt{2}\left ( Cos\frac{3\pi}{8} + i.sen\frac{3\pi }{8} \right )[/latex] e w = [latex]\sqrt[3]{2}\left ( cos \frac{\pi }{12} + i.sen\frac{\pi }{12} \right )[/latex], sejam A, B e C as respectivas imagens geométricas de [latex]v^{2}[/latex] , [latex]w^{3}[/latex] e módulo de u no plano de Argand-Gauss. A área do triângulo ABC, em unidades de superfície, é

A) [latex] 2\sqrt{2}[/latex]
B) [latex]2\sqrt{2} - 1[/latex]
C) [latex] 2 \sqrt{2} + 1 [/latex]
D) [latex] 2\left ( 2\sqrt{2} - 1 \right )[/latex]
E) [latex] 2\left ( 2\sqrt{2} + 1 \right ) [/latex]

por **Elcioschin** Ter 05 Abr 2022, 18:42

Sua postagem viola a Regra IX: o texto completo do enunciado deve ser digitado.
E, se souber o gabarito, a Regra XI exige a postagem.
Por favor, EDITe sua mensagem original.

por **Elcioschin** Ter 05 Abr 2022, 19:28

u = 4.i

v = √2.[cos(3.pi/8) + i.sen(3.pi/8)] ---> v² = (√2)².[cos(3.pi/8) + i.sen(3.pi/8)]² ---> v² = 2[cos(3.pi/4) + i.sen(3.pi/4)] --->

v² = 2.(-√2/2 + i.√2/2) ---> v² = - √2 + i.√2

w = ∛2.[cos(pi/12) + i.sen(pi/12)] ---> w³ = (∛2)³.[cos(pi/12) + i.sen(pi/12)]³ ---> w³ = 2.[cos(pi/4) + i.sen(pi/4)] --->

w³ = 2(√2/2 + i.√2/2) ---> w³ = √2 + i.√2

Desenhe os complexos u, v² e w³ no Diagrama de Argand-Gauss e calcule a área do triângulo

Deve dar alternativa B). Tens o gabarito?

por mariana.ocampos Qua 06 Abr 2022, 08:23

Sim, a resposta é alternativa E.
Não entendi o porquê.

por Jvictors021 Qua 06 Abr 2022, 09:19

Poderiam me informar o meu erro ???

por aitchrpi Qua 06 Abr 2022, 09:30

Eu concordo com a resposta do Jvictors021. Um modo mais fácil de calcular a área do triângulo:

Como a área não varia se descolarmos o ponto C na direção x, podemos escolher C como (raiz(2), 0). Então, a área do triângulo é a metade da área do retângulo, que é igual a 2raiz(2) * raiz(2) = 4. Assim, At = 2.

por **Elcioschin** Qua 06 Abr 2022, 12:17

Eu não concordo:

por mariana.ocampos Qua 06 Abr 2022, 14:37

Muito obrigada pela sua ajuda, mestre!

Números complexos 503132

por aitchrpi Qua 06 Abr 2022, 18:58

Mas Elcio, o exercício pede a área sobre v², w² e módulo de u. Ou seja, (-sqrt(2), sqrt(2))
(sqrt(2), sqrt(2)) e |u| = 4 + 0i.

por **Elcioschin** Qua 06 Abr 2022, 19:09

Ops! Falha minha: eu tinha entendido que um dos vértices era o complexo u = 4.i
Só agora vi que era o módulo de u --> |u| = 4

Só que, assim fazendo, S = 2 e nenhuma alternativa atende

Eu acredito que o enunciado esteja errado ao falar em módulo e que o correto seria vértice: u = 4.i
Nesta caso, a alternativa D seria a correta.